Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (mosiądz) pod obciążeniem osiowym.

P = 100 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 100 kNodcinek 1: Ø35 mm, 2 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) o długości 1 m przenosi moment skręcający 400 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1,5°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 400 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 3 m od A i 2,5 m od B, przyłożono moment skręcający 500 N·m. Wyznacz kąt obrotu φ_C przekroju C w stopniach.

d = 40 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 45 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 1 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mM₀ = 45 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 1 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 15 kN w 5 mw = 8 kN/m od 0 do 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 130 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 120 × 10 mm, środnik o wysokości 180 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 190 × 20 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 120 × 10 mmśrodnik: 14 × 180 mmpółka dolna: 190 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −30 MPa i σᵧ = 0 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 20 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 20 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 600 mm i grubości ścianki 8 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 2 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 20° do osi walca. Wyznacz wartość naprężenia stycznego |τ_n| działającego wzdłuż spoiny.

D = 600 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 10 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,829 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/100000 = 0,001415 = 1415 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001415·2000 mm = 2,829 mm

Odpowiedź

δ = 2,829 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 8,143 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 103,9·2000/117000 = 1,777 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·2000/100000 = 6,366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,143 mm

Odpowiedź

δ = 8,143 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 49,46 mm

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1000/(26000·0,02618) = 587649 mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 49,46 mm

Odpowiedź

d = 49,46 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 5,978 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2,5/5,5 = 227,3 N·m

T_B = 500·3/5,5 = 272,7 N·m

Obrót przekroju C

Użyj odcinka AC: jest utwierdzony w A i przenosi T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 227273·3000/(26000·251327) = 0,1043 rad = 5,978°

Odpowiedź

φ_C = 5,978°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −4,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/10 = 4,5 kN (w górę)

R_A = −R_B = −4,5 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko R_A.

M_x = R_A·a = −4,5·1 = −4,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = −4,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 22,75 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·5 + 8·10·5

R_B = 475/10 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 47,5 = 47,5 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 47,5·0,5 − 8·0,5·0,25 = 22,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 22,75 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 2827·130)/(24000 − 2827) = 95,99 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·4,006² = 80,39 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,01² = 3,906 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 46,36 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1200 mm², y = 205 mm

środnik: A = 2520 mm², y = 110 mm

półka dolna: A = 3800 mm², y = 10 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1200·205 + 2520·110 + 3800·10)/7520 = 74,63 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 120·10³/12 + 1200·130,4² = 2,041 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·180³/12 + 2520·35,37² = 9,957 × 10⁶ mm⁴

półka dolna: 190·20³/12 + 3800·64,63² = 1,6 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,041 × 10⁷ + 9,957 × 10⁶ + 1,6 × 10⁷

I_x = 4,636 × 10⁷ mm⁴ = 46,36 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 46,36 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 31,62 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (−30 + 0)/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 20 − (−15) = 35 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 15²) = 31,62 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 31,62 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: |τ_n| = 12,05 MPa

Naprężenia w ściance

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/8 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 20°·cos 20° = 12,05 MPa

Odpowiedź

|τ_n| = 12,05 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,006316 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·1,14 × 10¹³) = 0,006316 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,006316 rad

To 0,3619°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 3,968 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 10000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·4000³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,587 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 2,381 mm

Dodaj

δ_max = 1,587 + 2,381 = 3,968 mm

Odpowiedź

δ_max = 3,968 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 4,016 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·4000 = 8000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/8000² = 4016 N = 4,016 kN

Odpowiedź

P_cr = 4,016 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 69,09 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials