Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: mosiądz, średnica 60 mm, długość 200 mm, E = 100 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: brąz, średnica 60 mm, długość 400 mm, E = 110 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 20 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: brąz, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 100 kW przy 500 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mP = 60 kN w 1,5 mw = 3 kN/m od 0 do 4 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 400 mm i grubości ścianki 5 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 1,2 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 20° do osi walca. Wyznacz wartość naprężenia stycznego |τ_n| działającego wzdłuż spoiny.

D = 400 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 18 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 40,39 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

Obciążenie

P = 0,2/4,951 × 10⁻⁶ = 40392 N = 40,39 kN

Odpowiedź

P = 40,39 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 5,573 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 20000·777544/986984 = 15756 N

Naprężenie

σ₂ = 15756/2827 = 5,573 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 5,573 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,4274 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·251327) = 0,00746 rad

φ = 0,00746·180/π = 0,4274°

Odpowiedź

φ = 0,4274°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 33,45 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·37,5/2,141 × 10⁶ = 33,45 MPa

Odpowiedź

τ_max = 33,45 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 80 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 40·4 − 10·4·2 = 80 kN·m

Odpowiedź

M_x = 80 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 61,88 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1,5 + 3·4·2

R_B = 114/4 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 28,5 = 43,5 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 39 kN

V(1,5⁺) = 39 − 60 = −21 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 43,5·1,5 − 3·1,5²/2 = 61,88 kN·m

Odpowiedź

M_max = 61,88 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 56,65 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·247,5 + 4320·120)/8820 = 185,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 185,1)² = 1,763 × 10⁷ mm⁴

środnik: 18·240³/12 + 4320·(120 − 185,1)² = 3,902 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,763 × 10⁷ + 3,902 × 10⁷ = 5,665 × 10⁷ mm⁴ = 56,65 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 56,65 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 81,71 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

środnik: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·110 + 1600·50)/6400 = 95 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·20³/12 + 4800·(110 − 95)² = 1,24 × 10⁶ mm⁴

środnik: 16·100³/12 + 1600·(50 − 95)² = 4,573 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,24 × 10⁶ + 4,573 × 10⁶ = 5,813 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 95 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·95/5,813 × 10⁶ = 81,71 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 81,71 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −22,5 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 90 − 50) = −45°

Kąt na elemencie

θ_p = −22,5°

Odpowiedź

θ_p = −22,5°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: |τ_n| = 7,713 MPa

Naprężenia w ściance

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,2·200/5 = 48 MPa

σ_a = pr/(2t) = 24 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

|τ_n| = (48 − 24)·sin 20°·cos 20° = 7,713 MPa

Odpowiedź

|τ_n| = 7,713 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 11,16 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1500²·2500²/(3·2,52 × 10¹²·4000) = 11,16 mm

Odpowiedź

δ_P = 11,16 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 16,73 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 18000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 16,73 mm

Odpowiedź

δ_max = 16,73 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 210,6 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2000² = 210552 N = 210,6 kN

Odpowiedź

P_cr = 210,6 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 38,86 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials