Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 110 GPa). Oba mają długość 600 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 300 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 300 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 90 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1,5 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 1500 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,75 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 15 kW przy 1500 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP₁ = 80 kN w 1 mP₂ = 30 kN w 3,5 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP = 30 kN w 3 mw = 4 kN/m od 0 do 8 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 100 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 190 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 12 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 100 mmh = 190 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 25 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 0 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od A. Wyznacz ugięcie δ_B swobodnego końca B.

P = 12 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 4 mP = 40 kN w 2 m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 150 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 150 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,4696 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 300000·600/3,833 × 10⁸ = 0,4696 mm

Odpowiedź

δ = 0,4696 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 286,5 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 286,5 MPa

Odpowiedź

σ_max = 286,5 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 51,89 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·80·0,6836)) = 51,89 mm

d_i = 0,75·51,89 = 38,92 mm

Odpowiedź

d_o = 51,89 mm

Wał pełny wymagałby d = 45,71 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 18,65 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Odpowiedź

d = 18,65 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 73 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·1 + 30·3,5

R_B = 185/5 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 37 = 73 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1 = 73·1 = 73 kN·m

pod P₂: M = R_B·1,5 = 37·1,5 = 55,5 kN·m

Największa wartość

M_max = 73 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 73 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 86,25 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 4·8·4

R_B = 218/8 = 27,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 27,25 = 34,75 kN

Gdzie V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 22,75 kN

V(3⁺) = 22,75 − 30 = −7,25 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 34,75·3 − 4·3²/2 = 86,25 kN·m

Odpowiedź

M_max = 86,25 kN·m

Występuje w x = 3 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 80,17 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 100·12 = 1200 mm², y₁ = 6 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·12·178 = 4272 mm², y₂ = 12 + 178/2 = 101 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1200·6 + 4272·101)/5472 = 80,17 mm

Odpowiedź

ȳ = 80,17 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 87,78 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

środnik: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·272,5 + 3640·130)/7140 = 199,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·25³/12 + 3500·(272,5 − 199,9)² = 1,865 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·260³/12 + 3640·(130 − 199,9)² = 3,827 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,865 × 10⁷ + 3,827 × 10⁷ = 5,692 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 199,9 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·199,9/5,692 × 10⁷ = 87,78 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 87,78 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 76,32 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((−60 − 70)/2)² + −40²) = 76,32 MPa

Odpowiedź

τ_max = 76,32 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 20 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 0 + 0·0,866 + 40·0,5 = 20 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 20 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_B = 4,333 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,333 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,333 mm

Odpowiedź

δ_B = 4,333 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 12,5 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Odpowiedź

R_B = 12,5 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 17,62 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1750² = 17624 N = 17,62 kN

Odpowiedź

P_cr = 17,62 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 99,88 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 99,88 mm

Odpowiedź

d = 99,88 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 120,1, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials