Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (miedź) pod obciążeniem osiowym.

P = 45 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 150 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 120 GPa, naprężenie dopuszczalne 60 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MParura: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) przenosi moc 20 kW przy 750 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa, a kąt skręcenia 0,25° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 5 kN/m od 0 do 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 10 kN w 4,5 mw = 12 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 170 mm i grubości 12 mm, wysokość całkowitą 300 mm i środnik o grubości 8 mm. Przenosi moment zginający 60 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_j na styku środnika z górną półką.

B = 170 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 20° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −30 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 60° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 3,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 24 kNa = 3,5 mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi dwie równe siły skupione P w punktach podziału na trzy części (L/3 od każdej podpory). Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku rozpiętości δ_max.

P = 20 kNL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 135 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 135 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,2721 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/117000 = 0,0005441 = 544,1 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0005441·500 mm = 0,2721 mm

Odpowiedź

δ = 0,2721 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 609,9 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (miedź)

Największe obciążenie

P_max = 0,0005·1,22 × 10⁹ = 609862 N = 609,9 kN

Odpowiedź

P_max = 609,9 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 5,542 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Odpowiedź

φ = 5,542°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 69,15 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 69,15 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(29,6, 69,15) = 69,15 mm

Odpowiedź

d = 69,15 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 12,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 15·5 − 5·5·2,5 = 12,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 12,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 61,76 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4,5 + 12·6·3

R_B = 261/6 = 43,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 43,5 = 38,5 kN

Gdzie V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 38,5/12 = 3,208 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 38,5·3,208 − 12·3,208²/2 = 61,76 kN·m

Odpowiedź

M_max = 61,76 kN·m

Występuje w x = 3,208 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 47,88 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

środnik: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 4000·100)/11200 = 173,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·30³/12 + 7200·(215 − 173,9)² = 1,269 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·200³/12 + 4000·(100 − 173,9)² = 3,52 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,269 × 10⁷ + 3,52 × 10⁷ = 4,788 × 10⁷ mm⁴ = 47,88 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 47,88 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_j = 83,92 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·300³ − 162·276³)/12

I_x = 9,867 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 150 − 12 = 138 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·138/9,867 × 10⁷ = 83,92 MPa

Odpowiedź

σ_j = 83,92 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = −38,37 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = 5 − 65·0,766 − (−10)·0,6428 = −38,37 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = 48,37 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = −38,37 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 62,32 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 20 + −50·−0,5 + 20·0,866 = 62,32 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 62,32 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 21,76 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 24000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·3500²·4500²/(3·1,14 × 10¹³·8000) = 21,76 mm

Odpowiedź

δ_P = 21,76 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 5,282 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 20000 N, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Jedna siła w L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 2,641 mm

Zsumuj obie siły

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5,282 mm

Odpowiedź

δ_max = 5,282 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 6,056 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6,056 kN

Odpowiedź

P_cr = 6,056 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 44,27 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 44,27 mm

Odpowiedź

d = 44,27 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 94,88, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials