Metody numeryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀¹ eˣ dx wzorem trapezów, n = 4, i porównaj z dokładną wartością. Znajdź błąd bezwzględny |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4

|E| =

2.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,1 dla y′ = e^−ty, y(0) = 0, aby oszacować y₅ ≈ y(0,5).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,1

y₅ =

3.Ciągi i szeregiŚredni

Zastosuj kryterium d’Alemberta do Σ_k=1^∞ k²·5ᵏ/2ᵏ. Znajdź L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k²·5ᵏ/2ᵏ

L =

4.Ciągi i szeregiTrudny

Rozpoznaj szereg i znajdź jego sumę: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·2^2k/(2k)!.

a_k = (−1)ᵏ·2^2k/(2k)!

S =

5.Macierze i wyznacznikiŚredni

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.

A = [−2 1 −3; 0 −2 −1; −1 1 −3]

det A =

6.Macierze i wyznacznikiTrudny

Wyznacz większą wartość własną λ pokazanej macierzy A.

A = [5 6; −9 −10]

λ =

7.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 460 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 26 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,04 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 25 min.

T₀ = 460 °CT_a = 26 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 25 min

T = °C

8.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y′ + 0,5y = 9e^−2t z y(0) = 1. Wyznacz y(1).

y′ + 0,5y = 9e^−2ty(0) = 1

y(1) =

3Roztwory

1.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,00894

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Wartość dokładna

I = 1,718282

Wzór trapezów

T = (0,25/2)·(1 + 2·1,284025 + 2·1,648721 + 2·2,117 + 2,718282) = 1,727222

Błąd

|E| = |1,727222 − 1,718282| = 0,00894

Odpowiedź

|E| = 0,00894

Błąd względny: 0,5203%.

2.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₅ = 0,4723

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = 0 + 0,1·(1) = 0,1

y₂ = 0,1 + 0,1·(0,99005) = 0,199005

y₃ = 0,199005 + 0,1·(0,960981) = 0,295103

y₄ = 0,295103 + 0,1·(0,915275) = 0,386631

y₅ = 0,386631 + 0,1·(0,856713) = 0,472302

Wykres

y₅ = 0,4723

Odpowiedź

y₅ = 0,4723

3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: L = 2,5

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Iloraz kolejnych wyrazów

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)²·5/2 → 5/2

Wniosek

L = 2,5 > 1

Odpowiedź

L = 2,5

L > 1, więc szereg jest rozbieżny.

4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: S = −0,4161

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Szeregi standardowe

Σ (−1)ᵏx^2k/(2k)! = cos x

Podstaw

x = 2

S = cos 2 = −0,4161

Odpowiedź

S = −0,4161

5.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: det A = −7

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Minory 2×2 pierwszego wiersza

M₁₁ = 7, M₁₂ = −1, M₁₃ = −2

Rozwinięcie Laplace'a

det A = (−2)·7 − 1·(−1) + (−3)·(−2) = −7

Odpowiedź

det A = −7

6.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: λ = −1

Równanie charakterystyczne

λ² − (−5)λ + (4) = 0

Rozwiąż

λ = (−5 ± √(9))/2 → λ = −4, −1

λ = −1

Odpowiedź

λ = −1

7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: T = 185,7 °C

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Rozwiązanie prawa stygnięcia

T(t) = 26 + 434·e^−0,04t

Podstaw t

T(25) = 26 + 434·0,3679 = 185,7 °C

Odpowiedź

T = 185,7 °C

8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1) = 3,434

Czynnik całkujący

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 9e^−1,5t

Rozwiązanie ogólne

y = 9/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −6·e^−2t + C·e^−0,5t

Warunek początkowy

1 = −6 + C → C = 7

Oblicz

y(1) = −6·0,1353 + 7·0,6065 = 3,434

Odpowiedź

y(1) = 3,434

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods