Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Ciągi i szeregi
Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metoda
Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Macierze i wyznaczniki
wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)
Równania różniczkowe
Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody numeryczneŚredni
Przybliż ∫01 √x·e−x dx wzorem trapezów przy n = 4 paskach. Podaj T.
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 1]n = 4
T =
2.Metody numeryczneTrudny
Użyj metody Heuna (ulepszonej metody Eulera) z h = 0,25 dla y′ = t + y, y(0) = −1, aby oszacować y3 ≈ y(0,75).
y′ = t + yy(0) = −1h = 0,25
y3 =
3.Ciągi i szeregiŚredni
Znajdź promień zbieżności R szeregu potęgowego Σk=1∞ 25ᵏx²ᵏ/k.
Σ 25ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0
R =
4.Ciągi i szeregiTrudny
Funkcję f(x) = cos x przybliżono jej wielomianem Maclaurina stopnia 2 w punkcie x = 0,2. Użyj oszacowania Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! z M = 1, aby znaleźć największy możliwy błąd |R₂|.
f(x) = cos xn = 2x = 0,2M = 1
|R₂| =
5.Macierze i wyznacznikiŚredni
Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.
A = [0 1 3; 1 4 3; 0 0 −1]
det A =
6.Macierze i wyznacznikiTrudny
Rozwiąż układ −x − y = 0 i −3x + 2y = −10. Wyznacz x.
−x − y = 0−3x + 2y = −10
x =
7.Równania różniczkoweŚredni
Odkuwkę stalową o temperaturze 460 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 25 °C. Po 57 min jej temperatura wynosi 164 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 74 °C?
T0 = 460 °CTa = 25 °CT(57) = 164 °CT = 74 °C
t = min
8.Równania różniczkoweTrudny
Zbiornik zawiera 400 L wody, w której rozpuszczono 5 kg soli. Solanka zawierająca 0,1 kg soli na litr wpływa z natężeniem 20 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 19 kg soli?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Roztwory
1.Metody numeryczne
Odpowiedź: T = 0,3528
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.
2.Metody numeryczne
Odpowiedź: y3 = −1,75
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Kroki Heuna
y₁ = −1 + (0,25/2)(−1 − 1) = −1,25
y₂ = −1,25 + (0,25/2)(−1 − 1) = −1,5
y₃ = −1,5 + (0,25/2)(−1 − 1) = −1,75
Wykres
y3 = −1,75
Odpowiedź
y3 = −1,75
Wartość dokładna to y(0,75) = −1,75.
3.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: R = 0,2
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Współczynniki
Szereg jest względem x²: jest zbieżny dla 25·x² < 1, czyli |x| < 1/5.
Promień
R = 0,2
Odpowiedź
R = 0,2
Kryterium d’Alemberta nic nie mówi w obu punktach końcowych; trzeba je sprawdzić osobno.
4.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: |R₂| = 0,001333
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Minory 2×2 pierwszego wiersza
M₁₁ = −4, M₁₂ = −1, M₁₃ = 0
Rozwinięcie Laplace'a
det A = 0·(−4) − 1·(−1) + 3·0 = 1
Odpowiedź
det A = 1
6.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: x = 2
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wyznacznik macierzy współczynników
det A = (−1)·2 − (−1)·(−3) = −5
Zastąp kolumnę x
det Aₓ = 0·2 − (−1)·(−10) = −10
x = −10/(−5) = 2
Odpowiedź
x = 2
y = −2
7.Równania różniczkowe
Odpowiedź: t = 109,1 min
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Stała stygnięcia
k = ln(435/139)/57 = 0,02002 min⁻¹
Czas do osiągnięcia celu
t = ln(435/49)/0,02002 = 109,1 min
Odpowiedź
t = 109,1 min
8.Równania różniczkowe
Odpowiedź: t = 10,22 min
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.