Metody numeryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody numeryczneŚredni

Wzór trapezów stosuje się do ∫₀¹ x³ dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 1]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

2.Metody numeryczneTrudny

Wykonaj jeden krok klasycznej metody Rungego–Kutty (RK4) z h = 0,5 dla y′ = e^−ty, y(0) = 0. Znajdź y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3.Ciągi i szeregiŚredni

Znajdź sumę S = Σ_k=1²⁰ 6/(k(k + 1)).

a_k = 6/(k(k + 1))n = 20

S =

4.Ciągi i szeregiTrudny

Znajdź współczynnik c₃ przy (x − 2)³ w szeregu Taylora funkcji f(x) = 1/x w punkcie a = 2.

f(x) = 1/xa = 2k = 3

c₃ =

5.Macierze i wyznacznikiŚredni

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.

A = [−5 3 1; 4 −4 0; 5 1 3]

det A =

6.Macierze i wyznacznikiTrudny

Wyznacz większą wartość własną λ pokazanej macierzy A.

A = [0 −3; 8 10]

λ =

7.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 6y′ + 9y = 0 z y(0) = 5 i y′(0) = 0. Wyznacz y(1,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1.5) =

8.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + y/x = 3x dla x > 0, z y(1) = 0. Wyznacz y(3).

y′ + y/x = 3xy(1) = 0

y(3) =

3Roztwory

1.Metody numeryczne

Odpowiedź: n = 224

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Oszacowanie drugiej pochodnej

M = 6·1 = 6

Wyznacz n

n² > 1·6/(12·1 × 10⁻⁵) = 50000

n > 223,6 → n = 224

Odpowiedź

n = 224

2.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₁ = 0,4629

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Cztery nachylenia

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,25, 0,25) = 0,939413

k₃ = f(0,25, 0,234853) = 0,942977

k₄ = f(0,5, 0,471489) = 0,789983

Połącz

y₁ = 0 + (0,5/6)(1 + 2·0,939413 + 2·0,942977 + 0,789983) = 0,4629

Odpowiedź

y₁ = 0,4629

3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: S = 5,714

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))

Anuluj

S = 6·(1 − 1/21) = 5,714

Odpowiedź

S = 5,714

4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: c₃ = −0,0625

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Pochodna f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

Współczynnik

c₃ = −6/(2⁴·6) = −0,0625

c₃ = −0,0625

Odpowiedź

c₃ = −0,0625

5.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: det A = 48

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Minory 2×2 pierwszego wiersza

M₁₁ = −12, M₁₂ = 12, M₁₃ = 24

Rozwinięcie Laplace'a

det A = (−5)·(−12) − 3·12 + 1·24 = 48

Odpowiedź

det A = 48

6.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: λ = 6

Równanie charakterystyczne

λ² − (10)λ + (24) = 0

Rozwiąż

λ = (10 ± √(4))/2 → λ = 4, 6

λ = 6

Odpowiedź

λ = 6

7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1.5) = 0,3055

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 3)² = 0 → r = −3

Stałe

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = 0 + 15 = 15

Oblicz

y(1,5) = (5 + 15·1,5)·e^−4,5 = 0,3055

Odpowiedź

y(1,5) = 0,3055

8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(3) = 8,667

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Czynnik całkujący

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Całkuj

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

Warunek początkowy

0 = 3/3 + C → C = −1

Oblicz

y(3) = (3·3³/3 + (−1))/3¹ = 8,667

Odpowiedź

y(3) = 8,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods