Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Ciągi i szeregi
Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metoda
Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Macierze i wyznaczniki
wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)
Równania różniczkowe
Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody numeryczneŚredni
Wzór trapezów stosuje się do ∫02 sin x dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 2]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 0,001.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
2.Metody numeryczneTrudny
Wykonaj jeden krok klasycznej metody Rungego–Kutty (RK4) z h = 0,1 dla y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1. Znajdź y₁ ≈ y(0,1).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,1
y1 =
3.Ciągi i szeregiŚredni
Szereg potęgowy Σk=1∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ jest zbieżny na przedziale wokół x₀ = 2. Znajdź prawy koniec x tego przedziału.
Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2
x =
4.Ciągi i szeregiTrudny
Funkcję f(x) = ln(1 + x) przybliżono jej wielomianem Maclaurina stopnia 5 w punkcie x = 0,5. Użyj oszacowania Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! z M = 5! = 120, aby znaleźć największy możliwy błąd |R₅|.
f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0,5M = 120
|R₅| =
5.Macierze i wyznacznikiŚredni
Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.
A = [4 1 0; 5 0 −1; 5 5 0]
det A =
6.Macierze i wyznacznikiTrudny
Rozwiąż układ 4x + 4y = −11 i −3x − 5y = 12. Wyznacz x.
4x + 4y = −11−3x − 5y = 12
x =
7.Równania różniczkoweŚredni
Rozwiąż y″ + 8y′ + 16y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = 0. Wyznacz y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1) =
8.Równania różniczkoweTrudny
Układ spełnia równanie y″ + 4y′ + 20y = 20 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz wartość szczytową ymax jego odpowiedzi skokowej.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Roztwory
1.Metody numeryczne
Odpowiedź: n = 26
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Oszacowanie drugiej pochodnej
M = |sin(π/2)| = 1
Wyznacz n
n² > 8·1/(12·0,001) = 666,7
n > 25,82 → n = 26
Odpowiedź
n = 26
2.Metody numeryczne
Odpowiedź: y1 = 1,105
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Współczynniki
ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e
Promień
R = 2,718
Przedział
−0,7183 < x < 4,718
x = 4,718
Odpowiedź
x = 4,718
Kryterium d’Alemberta nic nie mówi w obu punktach końcowych; trzeba je sprawdzić osobno.
4.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: |R₅| = 0,002604
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Ograniczenie pochodnej
M = 5! = 120
Oszacowanie Lagrange’a
|R₅| ≤ 120·0,5⁶/6! = 0,002604
Odpowiedź
|R₅| = 0,002604
Prawdziwy błąd jest mniejszy: |f(0,5) − P₅(0,5)| = 0,001827.
5.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: det A = 15
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Minory 2×2 pierwszego wiersza
M₁₁ = 5, M₁₂ = 5, M₁₃ = 25
Rozwinięcie Laplace'a
det A = 4·5 − 1·5 + 0·25 = 15
Odpowiedź
det A = 15
6.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: x = −0,875
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wyznacznik macierzy współczynników
det A = 4·(−5) − 4·(−3) = −8
Zastąp kolumnę x
det Aₓ = (−11)·(−5) − 4·12 = 7
x = 7/(−8) = −0,875
Odpowiedź
x = −0,875
y = −1,875
7.Równania różniczkowe
Odpowiedź: y(1) = 0,2747
Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.
Pierwiastek podwójny
(r + 4)² = 0 → r = −4
Stałe
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 4A → B = 0 + 12 = 12
Oblicz
y(1) = (3 + 12·1)·e−4 = 0,2747
Odpowiedź
y(1) = 0,2747
8.Równania różniczkowe
Odpowiedź: ymax = 1,208
Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.