Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Ciągi i szeregi
Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metoda
Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Macierze i wyznaczniki
wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)
Równania różniczkowe
Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody numeryczneŚredni
Przybliż ∫14 1/x dx wzorem Simpsona, n = 2, i porównaj z dokładną wartością. Znajdź błąd bezwzględny |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
2.Metody numeryczneTrudny
Użyj metody Eulera z h = 0,2 dla y′ = e−ty, y(0) = 1, aby oszacować y4 ≈ y(0,8).
y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y4 =
3.Ciągi i szeregiŚredni
Znajdź sumę S = Σk=1∞ 5/(k(k + 4)).
ak = 5/(k(k + 4))
S =
4.Ciągi i szeregiTrudny
Znajdź współczynnik c₄ przy (x − 1)⁴ w szeregu Taylora funkcji f(x) = ln x w punkcie a = 1.
f(x) = ln xa = 1k = 4
c₄ =
5.Macierze i wyznacznikiŚredni
Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c12 (wiersz 1, kolumna 2).
A = [4 −1; 6 −4]B = [−4 −5; 1 −5]
c12 =
6.Macierze i wyznacznikiTrudny
Rozwiąż układ −3x − 4y = −12 i −x + 3y = 5. Wyznacz x.
−3x − 4y = −12−x + 3y = 5
x =
7.Równania różniczkoweŚredni
Puszkę napoju o temperaturze 5 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 30 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,06 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 16 min.
T0 = 5 °CTa = 30 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 16 min
T = °C
8.Równania różniczkoweTrudny
Zbiornik zawiera 200 L wody, w której rozpuszczono 20 kg soli. Solanka zawierająca 0,05 kg soli na litr wpływa z natężeniem 20 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 10 min?
V = 200 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Roztwory
1.Metody numeryczne
Odpowiedź: |E| = 0,03871
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Wartość dokładna
I = 1,386294
Wzór Simpsona
S = (1,5/3)·(1 + 4·0,4 + 0,25) = 1,425
Błąd
|E| = |1,425 − 1,386294| = 0,03871
Odpowiedź
|E| = 0,03871
Błąd względny: 2,792%.
2.Metody numeryczne
Odpowiedź: y4 = 1,556
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Kroki Eulera
y₁ = 1 + 0,2·(1) = 1,2
y₂ = 1,2 + 0,2·(0,786628) = 1,357326
y₃ = 1,357326 + 0,2·(0,581043) = 1,473534
y₄ = 1,473534 + 0,2·(0,413077) = 1,55615
Wykres
y4 = 1,556
Odpowiedź
y4 = 1,556
3.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: S = 2,604
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Ułamki proste
5/(k(k + 4)) = (5/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Anuluj
S = (5/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,604
Odpowiedź
S = 2,604
4.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: c₄ = −0,25
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Pochodna f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴
Współczynnik
c₄ = f⁽⁴⁾(1)/4! = −6/(1⁴·24) = −0,25
c₄ = −0,25
Odpowiedź
c₄ = −0,25
5.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: c12 = −15
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wiersz razy kolumna
c12 = 4·(−5) + (−1)·(−5) = −15
Odpowiedź
c12 = −15
6.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: x = 1,231
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wyznacznik macierzy współczynników
det A = (−3)·3 − (−4)·(−1) = −13
Zastąp kolumnę x
det Aₓ = (−12)·3 − (−4)·5 = −16
x = −16/(−13) = 1,231
Odpowiedź
x = 1,231
y = 2,077
7.Równania różniczkowe
Odpowiedź: T = 20,43 °C
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Rozwiązanie prawa stygnięcia
T(t) = 30 + (−25)·e−0,06t
Podstaw t
T(16) = 30 + (−25)·0,3829 = 20,43 °C
Odpowiedź
T = 20,43 °C
8.Równania różniczkowe
Odpowiedź: m = 13,68 kg
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Ułóż równanie
dm/dt = 20·0,05 − (20/200)·m = 1 − 0,1·m
Rozwiąż
Czynnik całkujący to ert/V; rozwiązanie dąży do stanu równowagi c·V.