Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Ciągi i szeregi
Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metoda
Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Macierze i wyznaczniki
wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)
Równania różniczkowe
Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody numeryczneŚredni
Prędkość pojazdu mierzono co 2 s (tabela). Oszacuj drogę s przebytą od t = 0 do t = 12 s wzorem trapezów.
h = 2 sn = 6
s = m
2.Metody numeryczneTrudny
Użyj metody Eulera z h = 0,2 dla y′ = y − t², y(0) = 0,5, aby oszacować y4 ≈ y(0,8).
y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,2
y4 =
3.Ciągi i szeregiŚredni
Znajdź promień zbieżności R szeregu potęgowego Σk=1∞ 9ᵏx²ᵏ/k.
Σ 9ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0
R =
4.Ciągi i szeregiTrudny
Użyj wielomianu Maclaurina stopnia 2 funkcji f(x) = 1/(1 − x), aby przybliżyć f(−0,4). Podaj P₂(−0,4).
f(x) = 1/(1 − x)n = 2x = −0,4
P₂(−0.4) =
5.Macierze i wyznacznikiŚredni
Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.
A = [5 −1 4; −4 2 3; −2 5 3]
det A =
6.Macierze i wyznacznikiTrudny
Rozwiąż układ 6x − 6y = −5 i −x − 2y = 11. Wyznacz x.
6x − 6y = −5−x − 2y = 11
x =
7.Równania różniczkoweŚredni
Rozwiąż y″ + 7y′ + 10y = 0 z y(0) = 1 i y′(0) = 4. Wyznacz y(1,5).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 1y′(0) = 4
y(1.5) =
8.Równania różniczkoweTrudny
Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 2y/x = 3x dla x > 0, z y(1) = −2. Wyznacz y(3).
y′ + 2y/x = 3xy(1) = −2
y(3) =
3Roztwory
1.Metody numeryczne
Odpowiedź: s = 96 m
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Suma ważona
0 + 2·6 + 2·10 + 2·11 + 2·10 + 2·8 + 6 = 96
Wzór trapezów
s = (2/2)·96 = 96 m
Odpowiedź
s = 96 m
2.Metody numeryczne
Odpowiedź: y4 = 0,9149
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Kroki Eulera
y₁ = 0,5 + 0,2·(0,5) = 0,6
y₂ = 0,6 + 0,2·(0,56) = 0,712
y₃ = 0,712 + 0,2·(0,552) = 0,8224
y₄ = 0,8224 + 0,2·(0,4624) = 0,91488
Wykres
y4 = 0,9149
Odpowiedź
y4 = 0,9149
Wartość dokładna to y(0,8) = 0,901689.
3.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: R = 0,3333
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Współczynniki
Szereg jest względem x²: jest zbieżny dla 9·x² < 1, czyli |x| < 1/3.
Promień
R = 0,3333
Odpowiedź
R = 0,3333
Kryterium d’Alemberta nic nie mówi w obu punktach końcowych; trzeba je sprawdzić osobno.
4.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: P₂(−0.4) = 0,76
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Wielomian Maclaurina
P₂(x) = 1 + x + x²
Podstaw
P₂(−0,4) = 1 − 0,4 + 0,16 = 0,76
Odpowiedź
P₂(−0,4) = 0,76
Dokładna wartość to f(−0,4) = 0,714286; błąd −0,0457143 maleje, gdy bierzesz więcej wyrazów lub punkt bliższy 0.
5.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: det A = −115
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Minory 2×2 pierwszego wiersza
M₁₁ = −9, M₁₂ = −6, M₁₃ = −16
Rozwinięcie Laplace'a
det A = 5·(−9) − (−1)·(−6) + 4·(−16) = −115
Odpowiedź
det A = −115
6.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: x = −4,222
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wyznacznik macierzy współczynników
det A = 6·(−2) − (−6)·(−1) = −18
Zastąp kolumnę x
det Aₓ = (−5)·(−2) − (−6)·11 = 76
x = 76/(−18) = −4,222
Odpowiedź
x = −4,222
y = −3,389
7.Równania różniczkowe
Odpowiedź: y(1.5) = 0,1483
Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.
Pierwiastki charakterystyczne
(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5
Stałe z wartości początkowych
A + B = 1, −2A − 5B = 4
A = 3, B = −2
Oblicz
y(1,5) = 3·e−3 + (−2)·e−7,5 = 0,1483
Odpowiedź
y(1,5) = 0,1483
8.Równania różniczkowe
Odpowiedź: y(3) = 6,444
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.