Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.
Ciągi i szeregi
Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Metoda
Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Macierze i wyznaczniki
wyznacznik 2×2
det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt
(AB)ij = Σk AikBkj
Wartości własne
det(A − λI) = 0
Wzory Cramera
xi = det(Ai)/det(A)
Równania różniczkowe
Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody numeryczneŚredni
Prędkość pojazdu mierzono co 5 s (tabela). Oszacuj drogę s przebytą od t = 0 do t = 30 s wzorem Simpsona.
h = 5 sn = 6
s = m
2.Metody numeryczneTrudny
Użyj metody Eulera z h = 0,1 dla y′ = t + y, y(0) = 1, aby oszacować y5 ≈ y(0,5).
y′ = t + yy(0) = 1h = 0,1
y5 =
3.Ciągi i szeregiŚredni
Znajdź promień zbieżności R szeregu potęgowego Σk=1∞ xᵏ/3ᵏ.
Σ xᵏ/3ᵏx₀ = 0
R =
4.Ciągi i szeregiTrudny
Funkcję f(x) = eˣ przybliżono w x = 1 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 3 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁶.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Macierze i wyznacznikiŚredni
Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c12 (wiersz 1, kolumna 2).
A = [1 3; −4 −6]B = [−4 −6; −6 6]
c12 =
6.Macierze i wyznacznikiTrudny
Rozwiąż układ −2x + 4y = −9 i −4x + y = −9. Wyznacz x.
−2x + 4y = −9−4x + y = −9
x =
7.Równania różniczkoweŚredni
Puszkę napoju o temperaturze 4 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 22 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,1 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 24 min.
T0 = 4 °CTa = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 24 min
T = °C
8.Równania różniczkoweTrudny
Zbiornik zawiera 500 L wody, w której rozpuszczono 20 kg soli. Solanka zawierająca 0,2 kg soli na litr wpływa z natężeniem 10 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 60 min?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Roztwory
1.Metody numeryczne
Odpowiedź: s = 556,7 m
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Suma ważona
6 + 4·8 + 2·12 + 4·18 + 2·24 + 4·30 + 32 = 334
Wzór Simpsona
s = (5/3)·334 = 556,7 m
Odpowiedź
s = 556,7 m
2.Metody numeryczne
Odpowiedź: y5 = 1,721
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Kroki Eulera
y₁ = 1 + 0,1·(1) = 1,1
y₂ = 1,1 + 0,1·(1,2) = 1,22
y₃ = 1,22 + 0,1·(1,42) = 1,362
y₄ = 1,362 + 0,1·(1,662) = 1,5282
y₅ = 1,5282 + 0,1·(1,9282) = 1,72102
Wykres
y5 = 1,721
Odpowiedź
y5 = 1,721
Wartość dokładna to y(0,5) = 1,797443.
3.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: R = 3
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Współczynniki
ck/ck+1 = 3
Promień
R = 3
Odpowiedź
R = 3
Kryterium d’Alemberta nic nie mówi w obu punktach końcowych; trzeba je sprawdzić osobno.
4.Ciągi i szeregi
Odpowiedź: n = 9
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Oszacowania dla rosnących n
n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 8,267 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Najmniejszy stopień
n = 9
Odpowiedź
n = 9
5.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: c12 = 12
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wiersz razy kolumna
c12 = 1·(−6) + 3·6 = 12
Odpowiedź
c12 = 12
6.Macierze i wyznaczniki
Odpowiedź: x = 1,929
Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.
Wyznacznik macierzy współczynników
det A = (−2)·1 − 4·(−4) = 14
Zastąp kolumnę x
det Aₓ = (−9)·1 − 4·(−9) = 27
x = 27/14 = 1,929
Odpowiedź
x = 1,929
y = −1,286
7.Równania różniczkowe
Odpowiedź: T = 20,37 °C
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Rozwiązanie prawa stygnięcia
T(t) = 22 + (−18)·e−0,1t
Podstaw t
T(24) = 22 + (−18)·0,09072 = 20,37 °C
Odpowiedź
T = 20,37 °C
8.Równania różniczkowe
Odpowiedź: m = 75,9 kg
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Ułóż równanie
dm/dt = 10·0,2 − (10/500)·m = 2 − 0,02·m
Rozwiąż
Czynnik całkujący to ert/V; rozwiązanie dąży do stanu równowagi c·V.