Metody numeryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀³ sin x dx wzorem trapezów, n = 2, i porównaj z dokładną wartością. Znajdź błąd bezwzględny |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2

|E| =

2.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,5 dla y′ = t + y, y(0) = 0,5, aby oszacować y₄ ≈ y(2).

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,5

y₄ =

3.Ciągi i szeregiŚredni

Dokładnie jeden z czterech szeregów jest zbieżny. Kliknij go.

A: Σ 1/(4k + 1)B: Σ k!/2ᵏC: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ k/(k + 8)

1A: Σ 1/(4k + 1)
2B: Σ k!/2ᵏ
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ k/(k + 8)

4.Ciągi i szeregiTrudny

Znajdź współczynnik c₂ przy (x − 2)² w szeregu Taylora funkcji f(x) = e^3x w punkcie a = 2.

f(x) = e^3xa = 2k = 2

c₂ =

5.Macierze i wyznacznikiŚredni

Wyznacz wyznacznik det A pokazanej macierzy 3×3 A.

A = [−5 −2 2; −1 1 −2; 1 2 −1]

det A =

6.Macierze i wyznacznikiTrudny

Rozwiąż układ −6x − 2y = 8 i −4x + 6y = −12. Wyznacz x.

−6x − 2y = 8−4x + 6y = −12

x =

7.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 380 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 20 °C. Po 42 min jej temperatura wynosi 257 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 306 °C?

T₀ = 380 °CT_a = 20 °CT(42) = 257 °CT = 306 °C

t = min

8.Równania różniczkoweTrudny

Zbiornik zawiera 500 L wody, w której rozpuszczono 20 kg soli. Solanka zawierająca 0,2 kg soli na litr wpływa z natężeniem 5 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 100 min?

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3Roztwory

1.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,3879

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Wartość dokładna

I = 1,989992

Wzór trapezów

T = (1,5/2)·(0 + 2·0,997495 + 0,14112) = 1,602082

Błąd

|E| = |1,602082 − 1,989992| = 0,3879

Odpowiedź

|E| = 0,3879

Błąd względny: 19,49%.

2.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₄ = 4,594

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = 0,5 + 0,5·(0,5) = 0,75

y₂ = 0,75 + 0,5·(1,25) = 1,375

y₃ = 1,375 + 0,5·(2,375) = 2,5625

y₄ = 2,5625 + 0,5·(4,0625) = 4,59375

Wykres

y₄ = 4,594

Odpowiedź

y₄ = 4,594

Wartość dokładna to y(2) = 8,083584.

3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: C: Σ (−1)ᵏ/√k

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Zbadaj każdy szereg

A: Σ 1/(4k + 1) → Dla dużych k zachowuje się jak 1/(4k); w porównaniu z szeregiem harmonicznym jest rozbieżny.

B: Σ k!/2ᵏ → Kryterium d’Alemberta: L = lim (k + 1)/2 = ∞, rozbieżny.

C: Σ (−1)ᵏ/√k → Naprzemienny, 1/√k maleje do 0: zbieżny (warunkowo).

D: Σ k/(k + 8) → Wyrazy dążą do 1, a nie do 0: rozbieżny na mocy warunku koniecznego.

Odpowiedź

C: Σ (−1)ᵏ/√k

Odpowiedź

C: Σ (−1)ᵏ/√k

4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: c₂ = 1815

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Pochodna f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 3²·e^3x

Współczynnik

c₂ = 3²·e⁶/2! = 1815

c₂ = 1815

Odpowiedź

c₂ = 1815

5.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: det A = −15

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Minory 2×2 pierwszego wiersza

M₁₁ = 3, M₁₂ = 3, M₁₃ = −3

Rozwinięcie Laplace'a

det A = (−5)·3 − (−2)·3 + 2·(−3) = −15

Odpowiedź

det A = −15

6.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: x = −0,5455

Wyznacznik macierzy współczynników

det A = (−6)·6 − (−2)·(−4) = −44

Zastąp kolumnę x

det Aₓ = 8·6 − (−2)·(−12) = 24

x = 24/(−44) = −0,5455

Odpowiedź

x = −0,5455

y = −2,364

7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 23,12 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stała stygnięcia

k = ln(360/237)/42 = 0,009953 min⁻¹

Czas do osiągnięcia celu

t = ln(360/286)/0,009953 = 23,12 min

Odpowiedź

t = 23,12 min

8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: m = 70,57 kg

Ułóż równanie

dm/dt = 5·0,2 − (5/500)·m = 1 − 0,01·m

Rozwiąż

Czynnik całkujący to e^rt/V; rozwiązanie dąży do stanu równowagi c·V.

m(t) = 100 + (−80)·e^−t/100

Podstaw t

m(100) = 100 + (−80)·0,3679 = 70,57 kg

Odpowiedź

m = 70,57 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods