Metody numeryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Macierze i wyznaczniki

wyznacznik 2×2: det = ad − bc
Macierz odwrotna 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produkt: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Wartości własne: det(A − λI) = 0
Wzory Cramera: x_i = det(A_i)/det(A)

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody numeryczneŚredni

Prędkość pojazdu mierzono co 2 s (tabela). Oszacuj drogę s przebytą od t = 0 do t = 12 s wzorem trapezów.

h = 2 sn = 6

s = m

2.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,25 dla y′ = cos t − y, y(0) = −1, aby oszacować y₅ ≈ y(1,25).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25

y₅ =

3.Ciągi i szeregiŚredni

Znajdź sumę S = Σ_k=1^∞ 1/(k(k + 2)).

a_k = 1/(k(k + 2))

S =

4.Ciągi i szeregiTrudny

Znajdź współczynnik c₂ przy (x − 1)² w szeregu Taylora funkcji f(x) = √x w punkcie a = 1.

f(x) = √xa = 1k = 2

c₂ =

5.Macierze i wyznacznikiŚredni

Niech C = AB dla pokazanych macierzy. Wyznacz element c₂₁ (wiersz 2, kolumna 1).

A = [−6 −2; 4 2]B = [4 −1; −5 6]

c₂₁ =

6.Macierze i wyznacznikiTrudny

Rozwiąż układ 3x − 5y = 1 i 6x − 3y = 8. Wyznacz x.

3x − 5y = 16x − 3y = 8

x =

7.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 400 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 25 °C. Po 23 min jej temperatura wynosi 213 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 25 °CT(23) = 213 °C

k = min⁻¹

8.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y′ + 2y = 6e^−3t z y(0) = 1. Wyznacz y(0,5).

y′ + 2y = 6e^−3ty(0) = 1

y(0.5) =

3Roztwory

1.Metody numeryczne

Odpowiedź: s = 102 m

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Suma ważona

3 + 2·5 + 2·5 + 2·8 + 2·11 + 2·13 + 15 = 102

Wzór trapezów

s = (2/2)·102 = 102 m

Odpowiedź

s = 102 m

2.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₅ = 0,3397

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = −1 + 0,25·(2) = −0,5

y₂ = −0,5 + 0,25·(1,468912) = −0,132772

y₃ = −0,132772 + 0,25·(1,010354) = 0,119817

y₄ = 0,119817 + 0,25·(0,611872) = 0,272785

y₅ = 0,272785 + 0,25·(0,267518) = 0,339664

Wykres

y₅ = 0,3397

Odpowiedź

y₅ = 0,3397

3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: S = 0,75

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

1/(k(k + 2)) = (1/2)·(1/k − 1/(k + 2))

Anuluj

S = (1/2)·(1 + 1/2) = 0,75

Odpowiedź

S = 0,75

4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: c₂ = −0,125

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Pochodna f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,25·x^{1/2 − 2}

Współczynnik

c₂ = −0,25·1^{1/2 − 2}/2! = −0,125

c₂ = −0,125

Odpowiedź

c₂ = −0,125

5.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: c₂₁ = 6

Macierze: wyznacznik macierzy 2×2 to ad − bc. Dla 3×3 rozwiń względem wiersza: każdy element razy wyznacznik macierzy 2×2, która zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, ze znakami na przemian + − +. Wartości własne λ spełniają det(A − λI) = 0; dla 2×2 to λ² − (ślad)·λ + det = 0.

Wiersz razy kolumna

c₂₁ = 4·4 + 2·(−5) = 6

Odpowiedź

c₂₁ = 6

6.Macierze i wyznaczniki

Odpowiedź: x = 1,762

Wyznacznik macierzy współczynników

det A = 3·(−3) − (−5)·6 = 21

Zastąp kolumnę x

det Aₓ = 1·(−3) − (−5)·8 = 37

x = 37/21 = 1,762

Odpowiedź

x = 1,762

y = 0,8571

7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,03002 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e^−23k = 188/375

Wyznacz k

k = ln(375/188)/23 = 0,03002 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,03002 min⁻¹

8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.5) = 1,236

Czynnik całkujący

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 6e^−t

Rozwiązanie ogólne

y = 6/(−1)·e^−3t + C·e^−2t = −6·e^−3t + C·e^−2t

Warunek początkowy

1 = −6 + C → C = 7

Oblicz

y(0,5) = −6·0,2231 + 7·0,3679 = 1,236

Odpowiedź

y(0,5) = 1,236

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods