Fizyka 1: Mechanika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Kinematyka

Prędkość: v = v₀ + a·t
Przemieszczenie: s = v₀·t + ½·a·t²
Bez czasu: v² = v₀² + 2·a·s
Jednostki: 1 m/s = 3,6 km/h

Metoda

Wypisz dane: v₀, v, a, t i s, z jednostkami.
Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i niewiadomą.
Wybierz jeden kierunek dodatni i nadaj wielkościom przeciwnie skierowanym znak minus.
Rozwiąż i sprawdź, czy odpowiedź ma sens fizyczny.

Zasady dynamiki Newtona

Druga zasada: ΣF = m·a
Ciężar: W = m·g
Tarcie kinetyczne: F_f = μ·N
Na równi pochyłej: wzdłuż: m·g·sin θ, prostopadle: m·g·cos θ

Metoda

Narysuj schemat sił ze wszystkimi siłami działającymi na ciało.
Wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu.
Rozłóż siły na składowe wzdłuż ruchu i prostopadłe do niego (na równi: m·g·sin θ wzdłuż, m·g·cos θ prostopadle do równi).
Zastosuj ΣF = m·a wzdłuż ruchu; tarcie to μ·N przeciwnie do ruchu.

Rzut ukośny

Składowe: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Położenie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maksymalna wysokość: H = h + v_y²/(2g)
Zasięg (teren płaski): R = v₀²·sin 2θ/g

Metoda

Rozłóż prędkość początkową na składowe: v_x = v₀·cos θ i v_y = v₀·sin θ.
Ruch poziomy ma stałą prędkość; ruch pionowy ma przyspieszenie −g.
Wyznacz czas lotu z ruchu pionowego.
Użyj tego czasu w ruchu poziomym, aby wyznaczyć zasięg.

Ruch po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe: a = v²/r = ω²·r
Siła dośrodkowa: F = m·v²/r
Prędkość kątowa: ω = v/r = 2π/T
Płaski zakręt, tarcie: v_max = √(μ·g·r)

Praca i energia

Energia kinetyczna: E_k = ½mv²
Energia potencjalna: E_p = mgh
Bilans energii: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Praca tarcia: W = μ·N·d
Moc: P = W/t

Pęd i zderzenia

Pęd: p = m·v
Zasada zachowania: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Doskonale niesprężyste: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Popęd siły: J = F·Δt = m·Δv

Metoda

Wybierz kierunek dodatni i nadaj każdej prędkości znak.
Zapisz całkowity pęd przed zderzeniem: Σm·v.
W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała poruszają się potem razem; w zderzeniu sprężystym zachowana jest także energia kinetyczna.
Przyrównaj pęd przed do pędu po i rozwiąż.

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.KinematykaŚredni

Samolot potrzebuje do startu prędkości 200 km/h, a użyteczny pas startowy ma długość 1500 m. Jakie stałe przyspieszenie a jest potrzebne przy starcie z miejsca?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.KinematykaTrudny

Piłkę rzucono pionowo w górę z prędkością 5 m/s z krawędzi dachu na wysokości 10 m nad ziemią. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość h_max nad ziemią.

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Zasady dynamiki NewtonaŚredni

Klocek o masie 16 kg zsuwa się po gładkiej równi nachylonej pod kątem 35° do poziomu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.

m = 16 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Zasady dynamiki NewtonaTrudny

Klocek o masie 4,5 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 5,5 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,25. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Rzut ukośnyŚredni

Piłkę wyrzucono z poziomego terenu pod kątem 75° do poziomu i upadła 90 m dalej. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość początkową v₀.

θ = 75°R = 90 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Rzut ukośnyTrudny

Piłkę wyrzucono z prędkością 28 m/s pod kątem 30° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 25 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość H nad ziemią u podnóża klifu.

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Ruch po okręguŚredni

Samochód przejeżdża przez szczyt garbu na drodze, który jest łukiem okręgu o promieniu 90 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Powyżej jakiej prędkości v_max koła oderwą się od drogi na szczycie?

r = 90 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Ruch po okręguTrudny

Kulka o masie 1,4 kg na lekkiej nici o długości 1,5 m jest obracana po okręgu pionowym. W najniższym punkcie jej prędkość wynosi 11 m/s. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T_top nici w najwyższym punkcie.

m = 1,4 kgr = 1,5 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Praca i energiaŚredni

Klocek zsuwa się bez prędkości początkowej po zboczu nachylonym pod kątem 35° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,3. Wyznacz jego prędkość v po przebyciu 13 m wzdłuż zbocza.

θ = 35°μ = 0,3d = 13 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Praca i energiaTrudny

Klocek o masie 15 kg rusza ze spoczynku u podstawy zbocza nachylonego pod kątem 30° i jest ciągnięty w górę zbocza stałą siłą 175 N równoległą do zbocza. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,1. Wyznacz prędkość v klocka po przebyciu 4 m w górę zbocza.

m = 15 kgF = 175 Nθ = 30°μ = 0,1d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Pęd i zderzeniaŚredni

Pocisk o masie 8 g zostaje wystrzelony poziomo w drewniany klocek o masie 2,5 kg zawieszony na lekkich niciach i pozostaje w nim. Klocek wychyla się, aż znajdzie się 18 cm wyżej niż na początku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość v pocisku przed uderzeniem.

m = 8 gM = 2,5 kgh = 18 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Pęd i zderzeniaTrudny

Pocisk o masie 8 g zostaje wystrzelony poziomo w klocek o masie 4 kg zawieszony na lekkich niciach o długości 1,7 m i pozostaje w nim. Nici wychylają się maksymalnie o kąt 35° od pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość v pocisku przed uderzeniem.

m = 8 gM = 4 kgL = 1,7 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Sprężyny i wahadłaŚredni

Astronauta na innej planecie stwierdza, że wahadło matematyczne o długości 1 m ma przy małych wychyleniach okres 1,26 s. Wyznacz przyspieszenie grawitacyjne g na tej planecie.

L = 1 mT = 1,26 s

g = m/s²

14.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 3,3 kg na sprężynie o k = 450 N/m odciągnięto o 13 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość v_max.

m = 3,3 kgk = 450 N/mA = 13 cm

v_max = m/s

15.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Układ: Rura zamknięta na jednym końcu, długość 0,6 m, prędkość dźwięku 343 m/s. Znajdź częstotliwość f₃ dla: harmoniczna numer 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,6 m

f₃ = Hz

16.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Siatka dyfrakcyjna ma 1200 linii na milimetr. Światło o długości fali 633 nm pada na nią pod kątem prostym. Jaki jest najwyższy rząd m_max jasnego maksimum, jaki można zobaczyć?

N = 1200 mm⁻¹λ = 633 nm

m_max =

3Roztwory

1.Kinematyka

Odpowiedź: a = 1,029 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Jednostki

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Przyspieszenie

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1500) = 1,029 m/s²

Odpowiedź

a = 1,029 m/s²

2.Kinematyka

Odpowiedź: h_max = 11,27 m

Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.

Wzniesienie nad dach

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9,81) = 1,274 m

Wysokość nad ziemią

h_max = 10 + 1,274 = 11,27 m

Odpowiedź

h_max = 11,27 m

3.Zasady dynamiki Newtona

Odpowiedź: a = 5,627 m/s²

Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.

Siły wzdłuż równi

Kierunek w dół równi jest dodatni.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Przyspieszenie

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Odpowiedź

a = 5,627 m/s²

4.Zasady dynamiki Newtona

Odpowiedź: T = 30,35 N

Przyspieszenie układu

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 11,04)/10 = 4,292 m/s²

Siła naciągu z równania dla klocka na stole

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4,5·4,292 + 11,04 = 30,35 N

Odpowiedź

T = 30,35 N

5.Rzut ukośny

Odpowiedź: v₀ = 42,02 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Wyznacz v₀ ze wzoru na zasięg

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·90/sin 150°) = 42,02 m/s

Odpowiedź

v₀ = 42,02 m/s

6.Rzut ukośny

Odpowiedź: H = 34,99 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Pionowa prędkość początkowa

v_y = 28·sin 30° = 14 m/s

Wzniesienie ponad klif

Δh = v_y²/(2g) = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

Wysokość nad ziemią

H = 25 + 9,99 = 34,99 m

Odpowiedź

H = 34,99 m

7.Ruch po okręgu

Odpowiedź: v_max = 29,71 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Siła nacisku równa zeru

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·90) = 29,71 m/s

Odpowiedź

v_max = 29,71 m/s

(107 km/h)

8.Ruch po okręgu

Odpowiedź: T_top = 44,26 N

Prędkość w najwyższym punkcie

Energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną na wysokości 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·1,5 = 62,14 m²/s²

Siły w najwyższym punkcie

Siła naciągu i siła ciężkości są skierowane w dół, do środka.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,4·62,14/1,5 − 1,4·9,81 = 44,26 N

Odpowiedź

T_top = 44,26 N

9.Praca i energia

Odpowiedź: v = 9,144 m/s

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Bilans energii wzdłuż zbocza

Klocek obniża się o d·sin θ, a tarcie zabiera μmg·cos θ·d. Masa się skraca.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·13·(0,5736 − 0,3·0,8192)) = 9,144 m/s

Odpowiedź

v = 9,144 m/s

10.Praca i energia

Odpowiedź: v = 6,877 m/s

Siły wzdłuż równi

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 73,57 N

μ·mg·cos θ = 12,74 N

Praca i energia

½mv² = (175 − 86,32)·4 = 354,7 J

v = √(2·354,7/15) = 6,877 m/s

Odpowiedź

v = 6,877 m/s

11.Pęd i zderzenia

Odpowiedź: v = 589,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Wychylenie po uderzeniu

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,18) = 1,879 m/s

Zderzenie

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 2,5)·1,879/0,008 = 589,1 m/s

Odpowiedź

v = 589,1 m/s

12.Pęd i zderzenia

Odpowiedź: v = 1230 m/s

Wzniesienie klocka

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 35°) = 0,3074 m

Prędkość po uderzeniu

V = √(2·9,81·0,3074) = 2,456 m/s

Zderzenie

v = (m + M)·V/m = 4,008·2,456/0,008 = 1230 m/s

Odpowiedź

v = 1230 m/s

13.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: g = 24,87 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Wyznacz g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/1,26² = 24,87 m/s²

Odpowiedź

g = 24,87 m/s²

14.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: v_max = 1,518 m/s

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(450/3,3) = 11,68 rad/s

Maksymalna prędkość

v_max = A·ω = 0,13·11,68 = 1,518 m/s

Odpowiedź

v_max = 1,518 m/s

15.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: f₃ = 428,8 Hz

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, f_n = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Długość fali tego rodzaju drgań

λ = 4L/n = 4·0,6/3 = 0,8 m

Częstotliwość

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Odpowiedź

f₃ = 428,8 Hz

16.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: m_max = 1

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Odstęp linii

d = 1/1200 mm = 0,8333 µm

Najwyższy rząd

m ≤ d/λ = 0,8333 µm/0,633 µm = 1,316 → m_max = 1

Odpowiedź

m_max = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics