Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +1 µC i ładunek −10 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +1 µCq₂ = −10 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 1 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 100 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 15° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 100 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz stałą czasową τ obwodu po zamknięciu łącznika.

V_s = 12 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µF

τ = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 400 ms.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 15 Vt = 400 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 30 cm przesuwa się z prędkością 6 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 1 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 0,5 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź moc P wydzielaną w oporniku.

B = 1 TL = 30 cmv = 6 m/sR = 0,5 Ω

P = W

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 1500 zwojów, długość 20 cm i średnicę 1 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 2 A.

N = 1500l = 20 cm⌀ = 1 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 24 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 843506 N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,45² = 443951 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |399556 + 443951| = 843506 N/C

Odpowiedź

E = 843506 N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 279,9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 15° = 0,002629 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 15° = 0,5176 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,5176·√(0,002629/8,99 × 10⁹) = 2,799 × 10⁻⁷ C = 279,9 nC

Odpowiedź

q = 279,9 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,388 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 3 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 15·13/(15+13) = 6,964 Ω

R_eq = R₁ + 6,964 = 6 + 6,964 = 12,96 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,96 = 1,388 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,388 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 30,22 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 15,5 Ω

R₂ ∥ 15,5 = 10,22 Ω

R_eq = R₁ + 10,22 = 20 + 10,22 = 30,22 Ω

Odpowiedź

R_eq = 30,22 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: τ = 329,7 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·4,7/(2,2 + 4,7) = 1,499 kΩ

v_C(∞) = 12·4,7/(2,2 + 4,7) = 8,174 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 1,499·220 = 329,7 ms

Odpowiedź

τ = 329,7 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 13,4 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 10 + (15 − 10)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(400) = 10 + (5)·e^−400/1034 = 13,4 V

Odpowiedź

v_C = 13,4 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: P = 6,48 W

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 1·0,3·6 = 1,8 V

Prąd

I = ε/R = 1,8/0,5 = 3,6 A

Moc

P = εI = 1,8·3,6 = 6,48 W

Odpowiedź

P = 6,48 W

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 2,221 mJ

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 1,11 mH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,00111·2² = 0,002221 J = 2,221 mJ

Odpowiedź

W = 2,221 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 82,4 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (299,7)²) = 302,3 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(299,7/40) = 82,4°

Odpowiedź

φ = 82,4°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 226,3 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·10·10⁻⁶) = 707,1 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1,6 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 707,1·0,2 = 141,4 Ω

V_L = I·X_L = 1,6·141,4 = 226,3 V

Odpowiedź

V_L = 226,3 V

To Q = 9,428 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism