Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +6 µC i +3 µC są oddalone o 20 cm. W jakiej odległości x od ładunku +6 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCd = 20 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 10 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 6 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 4 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 5 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 12,5 V? Wyznacz t.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 10 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 12 cm przewodzą prądy 8 A i 15 A w tym samym kierunku. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 8 AI₂ = 15 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

W selektorze prędkości skrzyżowane pola E = 1 × 10⁴ V/m i B = 0,2 T przepuszczają prosto tylko jony o jednej prędkości. Znajdź tę prędkość v.

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 12 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩC = 47 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 11,72 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

6/x² = 3/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(3/6) = 0,7071

Położenie

x = 20/(1 + 0,7071) = 11,72 cm

Odpowiedź

x = 11,72 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 61,54 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,06² = 49,94 N

F₂ = k·4·10 × 10⁻¹²/0,1² = 35,96 N

Suma wektorowa

F = √(49,94² + 35,96²) = 61,54 N

Odpowiedź

F = 61,54 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,607 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 6 + 3,333 = 9,333 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9,333 = 1,607 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,607 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 2,031 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,438 Ω

R₃ + 3,438 = 6,438 Ω

R₂ ∥ 6,438 = 2,467 Ω

R_eq = R₁ + 2,467 = 3 + 2,467 = 5,467 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/5,467 = 3,292 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 3,292·3 = 8,123 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,123/4 = 2,031 A

Odpowiedź

I_R2 = 2,031 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,2123 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0,4255 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4255·(1 − e^−1/1,447) = 0,2123 A

Odpowiedź

i = 0,2123 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 15,25 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

Wyznacz czas

12,5 = 20 + (−15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,5 − 20)/(5 − 20) = 0,5

t = τ·ln((5 − 20)/(12,5 − 20)) = 22·ln(2) = 15,25 ms

Odpowiedź

t = 15,25 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 200 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·15/0,12 = 200 µN/m

Odpowiedź

F/L = 200 µN/m

Prądy w tym samym kierunku przyciągają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: v = 50000 m/s

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0,2 = 50000 m/s

Odpowiedź

v = 50000 m/s

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,3484 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 12/40 = 0,3 A

I_X = V/X_C = 12/67,73 = 0,1772 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,3² + 0,1772²) = 0,3484 A

Odpowiedź

I = 0,3484 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 59,29 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−11,04)²) = 61,01 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/61,01 = 1,639 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 1,639·36,17 = 59,29 V

Odpowiedź

V_C = 59,29 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism