Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +1 µC i ładunek +2 µC znajdują się w odległości 30 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 10 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 10 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 10 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 10 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 15 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 12 V, dokładnie 10 ms po starcie. Przy R = 1 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 10 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 8 cm przewodzą prądy 25 A i 5 A w przeciwnych kierunkach. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 25 AI₂ = 5 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Krótka cewka o 200 zwojach jest ciasno nawinięta na środku długiego solenoidu o 1000 zwojach, długości 30 cm i średnicy 3 cm. Znajdź ich indukcyjność wzajemną M.

N₁ = 1000N₂ = 200l = 30 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 399556 N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |399556 − 799111| = 399556 N/C

Odpowiedź

E = 399556 N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 360,6 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,1² = 26,97 N

F₂ = k·10·10 × 10⁻¹²/0,05² = 359,6 N

Suma wektorowa

F = √(26,97² + 359,6²) = 360,6 N

Odpowiedź

F = 360,6 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,161 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_eq = R₁ + 4,615 = 4 + 4,615 = 8,615 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8,615 = 1,161 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,161 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,159 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 2 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 5,867 Ω

R₃ + 5,867 = 15,87 Ω

R₂ ∥ 15,87 = 4,354 Ω

R_eq = R₁ + 4,354 = 6 + 4,354 = 10,35 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10,35 = 1,159 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,159 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,386 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Wyznacz czas

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −1·ln(0,25) = 1,386 ms

Odpowiedź

t = 1,386 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 6,213 µF

Wymagana stała czasowa

12 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 12))

τ = 10/1,609 = 6,213 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 6,213/1 = 6,213 µF

Odpowiedź

C = 6,213 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 312,5 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·25·5/0,08 = 312,5 µN/m

Odpowiedź

F/L = 312,5 µN/m

Prądy w przeciwnych kierunkach odpychają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: M = 592,2 µH

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Indukcyjność wzajemna

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·200·0,0007069/0,3 = 592,2 µH

Odpowiedź

M = 592,2 µH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 2,346 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (10,81)²) = 51,16 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/51,16 = 2,346 A

Odpowiedź

I = 2,346 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 87,61 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·22·10⁻⁶)) = 87,61 Hz

Odpowiedź

f₀ = 87,61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism