Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +4 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 7,5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +4 µCq₂ = −2 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 2,5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 8 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 5 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 4 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 4 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 90% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,2 V, dokładnie 200 ms po starcie. Przy R = 47 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 200 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym ku czytelnikowi. Natężenie pola maleje. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: ku czytelnikowidB/dt < 0

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 2000 zwojów, długość 40 cm i średnicę 3 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 2000l = 40 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 100 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,516 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,075² = 6,393 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,025² = 2,877 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |6,393 × 10⁶ + 2,877 × 10⁷| = 3,516 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 3,516 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 188,4 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

F₂ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N

Suma wektorowa

F = √(56,19² + 179,8²) = 188,4 N

Odpowiedź

F = 188,4 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,3845 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 5·22/(5+22) = 4,074 Ω

R_eq = R₁ + 4,074 = 15 + 4,074 = 19,07 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/19,07 = 0,4718 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,4718·15 = 1,922 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,922/5 = 0,3845 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,3845 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 21,52 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 6 + 4 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6,667 Ω

R₃ + 6,667 = 9,667 Ω

R₂ ∥ 9,667 = 6,517 Ω

R_eq = R₁ + 6,517 = 15 + 6,517 = 21,52 Ω

Odpowiedź

R_eq = 21,52 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,535 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Wyznacz czas

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −0,6667·ln(0,1) = 1,535 ms

Odpowiedź

t = 1,535 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 2,644 µF

Wymagana stała czasowa

7,2 = 9·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 200/1,609 = 124,3 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 124,3/47 = 2,644 µF

Odpowiedź

C = 2,644 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień w głąb kartki rośnie albo strumień ku czytelnikowi maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: ku czytelnikowi.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Odpowiedź

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 8,883 mH

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0007069/0,4 = 0,008883 H = 8,883 mH

Odpowiedź

L = 8,883 mH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 86,74 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (439,4)²) = 440,1 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(439,4/25) = 86,74°

Odpowiedź

φ = 86,74°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 88,23 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 34,36 − j47,49 Ω

Impedancja całkowita

Z = 40 + 34,36 − j47,49 = 74,36 − j47,49 Ω

|Z| = √(74,36² + 47,49²) = 88,23 Ω

Odpowiedź

|Z| = 88,23 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism