Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +5 µC i ładunek +3 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 16 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +5 µCq₂ = +3 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +5 µC i +5 µC są oddalone o 20 cm. Punkt P leży 3 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCd = 20 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 1 ms.

V_s = 15 VR₁ = 47 ΩR₂ = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 8 cm przewodzą prądy 12 A i 10 A w przeciwnych kierunkach. Znajdź wartość indukcji magnetycznej B w punkcie P, w połowie odległości między nimi.

I₁ = 12 AI₂ = 10 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 100 zwojów, długość 20 cm i średnicę 2,5 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 100l = 20 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 5 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,288 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,16² = 1,756 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,24² = 468229 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |1,756 × 10⁶ − 468229| = 1,288 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,288 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,37 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(10² + 3²) = 10,44 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,1044² = 4,124 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,124 × 10⁶·0,2873 = 2,37 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,37 × 10⁶ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 15,56 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 4·32/(4+32) = 3,556 Ω

R_eq = R₁ + 3,556 = 12 + 3,556 = 15,56 Ω

Odpowiedź

R_eq = 15,56 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,682 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 12,16 Ω

R₃ + 12,16 = 27,16 Ω

R₂ ∥ 27,16 = 2,702 Ω

R_eq = R₁ + 2,702 = 8 + 2,702 = 10,7 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10,7 = 1,682 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,682 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,7358 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

Zanik prądu

i(t) = 2·e^−1/1 = 0,7358 A

Odpowiedź

i = 0,7358 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,2707 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 15/(47 + 33) = 0,1875 A

i(∞) = 15/47 = 0,3191 A

τ = L/R = 47/47 = 1 ms

i(t) = 0,3191 + (0,1875 − 0,3191)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(1) = 0,3191 + (−0,1316)·e^−1/1 = 0,2707 A

Odpowiedź

i = 0,2707 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 110 µT

Pole magnetyczne prądów: wokół długiego prostego przewodu linie pola są okręgami (reguła prawej dłoni), a B = μ₀I/(2πr). W środku płaskiej kołowej cewki o N zwojach B = μ₀NI/(2R). Wewnątrz długiego solenoidu pole jest jednorodne, B = μ₀nI, gdzie n = N/L to liczba zwojów na metr, niezależnie od promienia. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Pracuj w jednostkach SI (metry i ampery), a pola kilku źródeł dodawaj jako wektory.

Pole każdego przewodu w punkcie P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·12/0,04 = 60 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·10/0,04 = 50 µT

Połącz

B = B₁ + B₂ = 110 µT

Odpowiedź

B = 110 µT

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 30,84 µH

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,0004909/0,2 = 3,084 × 10⁻⁵ H = 30,84 µH

Odpowiedź

L = 30,84 µH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 77,82 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (278)²) = 284,4 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(278/60) = 77,82°

Odpowiedź

φ = 77,82°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 153,8 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,47·10⁻⁶) = 4613 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0,3333 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 4613·0,1 = 461,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,3333·461,3 = 153,8 V

Odpowiedź

V_L = 153,8 V

To Q = 30,75 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism