Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +3 µC po lewej, −1 µC po prawej w odległości 10 cm i +1 µC między nimi, 5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = −1 µCq_M = +1 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 4 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 4 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 4 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 0,719 A? Wyznacz t.

V_s = 20 VR₁ = 20 ΩR₂ = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 25 zwojach ma pole powierzchni 20 cm². Cewkę obrócono na drugą stronę (o 180°) w jednorodnym polu 0,1 T, prostopadłym do jej płaszczyzny, w czasie 100 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 25A = 20 cm²B = 0,1 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 500 zwojów, długość 40 cm i średnicę 5 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 1,5 A.

N = 500l = 40 cm⌀ = 5 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 100 Ω, L = 200 mH i C = 1 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 14,38 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = +k·3·1 × 10⁻¹²/0,05² = 10,79 N

F_R = +k·1·1 × 10⁻¹²/0,05² = 3,596 N

Siła wypadkowa

F = 10,79 + (3,596) = 14,38 N → |F| = 14,38 N

Odpowiedź

F = 14,38 N

Siła wypadkowa jest skierowana w prawo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 31,78 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,08² = 22,47 N

F₂ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,08² = 22,47 N

Suma wektorowa

F = √(22,47² + 22,47²) = 31,78 N

Odpowiedź

F = 31,78 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,892 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 2·35/(2+35) = 1,892 Ω

R_eq = R₁ + 1,892 = 5 + 1,892 = 6,892 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,892 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,532 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 13,64 Ω

R₃ + 13,64 = 18,64 Ω

R₂ ∥ 18,64 = 11,5 Ω

R_eq = R₁ + 11,5 = 12 + 11,5 = 23,5 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/23,5 = 1,532 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,532 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,4404 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0,5 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,5·(1 − e^−5/2,35) = 0,4404 A

Odpowiedź

i = 0,4404 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,168 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 20/20 = 1 A

i(∞) = 20/(20 + 47) = 0,2985 A

τ = L/R = 22/67 = 0,3284 ms

i(t) = 0,2985 + (1 − 0,2985)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (0,719 − 0,2985)/(1 − 0,2985) = 0,5994

t = 0,3284·ln(1,668) = 0,168 ms

Odpowiedź

t = 0,168 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 100 mV

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 2·0,1·0,002 = 0,0004 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0004/0,1 = 0,1 V

Odpowiedź

ε = 100 mV

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 1,735 mJ

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 1,542 mH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,001542·1,5² = 0,001735 J = 1,735 mJ

Odpowiedź

W = 1,735 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 27,32 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (31)²) = 67,54 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(31/60) = 27,32°

Odpowiedź

φ = 27,32°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 79,58 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 4,472

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 355,9/4,472 = 79,58 Hz

Odpowiedź

B = 79,58 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism