Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++5 µC++6 µCP40 cm

Ładunek +5 µC i ładunek +6 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 24 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +5 µCq2 = +6 µCr1 = 24 cmr2 = 16 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
8 cm8 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +6 µC

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q1 = 2 µCq2 = 6 µCq3 = 2 µCr13 = 8 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBR6​2 Ω

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
R = 10 Ωt = 0L10 mHi(t)

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​10 Votwiera się w t = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 10 kΩC22 µF+−vC​

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 400 ms.

Vs = 10 VR1 = 2,2 kΩR2 = 10 kΩC = 22 µFt = 400 ms
vC = V
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
R = 0,5 Ωv = 5 m/sL = 100 cmB = 1 T

Metalowy pręt o długości 100 cm przesuwa się z prędkością 5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 1 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 0,5 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź siłę F potrzebną do utrzymania stałej prędkości pręta (bez tarcia).

B = 1 TL = 100 cmv = 5 m/sR = 0,5 Ω
F = N
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
L = 40 mH6 → 1 A

Prąd w cewce o indukcyjności 40 mH zmienia się równomiernie od 6 A do 1 A w czasie 10 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 40 mH6 A → 1 AΔt = 10 ms
ε = V
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Vf0​ = 50 HzRL = ?C = 0,47 µF

Szeregowy obwód RLC z C = 0,47 µF ma być w rezonansie przy 50 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f0 = 50 HzC = 0,47 µF
L = mH
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 20 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 20 mH i C = 0,47 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF
Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,327 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,24² = 780382 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,16² = 2,107 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |780382 − 2,107 × 10⁶| = 1,327 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,327 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 17,77 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F1 = k·2·2 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N
F2 = k·6·2 × 10⁻¹²/0,08² = 16,86 N

Suma wektorowa

F = √(5,619² + 16,86²) = 17,77 N

Odpowiedź

F = 17,77 N
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,6773 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​5 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 3·17/(3+17) = 2,55 Ω
Req = R1 + 2,55 = 10 + 2,55 = 12,55 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 10/12,55 = 0,7968 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,7968·10 = 2,032 V
IR2 = VA/R2 = 2,032/3 = 0,6773 A

Odpowiedź

IR2 = 0,6773 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 9,507 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBR6​2 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 12 + 2 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3,111 Ω
R3 + 3,111 = 6,111 Ω
R2 ∥ 6,111 = 1,507 Ω
Req = R1 + 1,507 = 8 + 1,507 = 9,507 Ω

Odpowiedź

Req = 9,507 Ω
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,7358 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

Zanik prądu

i(t) = 2·e−1/1 = 0,7358 A

Odpowiedź

i = 0,7358 A
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 1,33 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

vC(0) = 10·10/(2,2 + 10) = 8,197 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R2·C = 10·22 = 220 ms

Rozładowanie

vC(t) = 8,197·e−400/220 = 1,33 V

Odpowiedź

vC = 1,33 V
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F = 10 N

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 1·1·5 = 5 V

Prąd

I = ε/R = 5/0,5 = 10 A

Siła hamująca

Reguła Lenza: siła działająca na prąd indukowany przeciwdziała ruchowi.

F = BIL = 1·10·1 = 10 N

Odpowiedź

F = 10 N
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 20 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·5/0,01 = 20 V

Odpowiedź

ε = 20 V
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 21558 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·0,47·10⁻⁶) = 21558 mH

Odpowiedź

L = 21558 mH
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 10,31

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,02·0,47·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(0,47·10⁻⁶)) = 10,31

Odpowiedź

Q = 10,31

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism