Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +3 µC i ładunek −5 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 16 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +3 µCq₂ = −5 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 4 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 99% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 5 VR = 33 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 15 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 9 V, dokładnie 1000 ms po starcie. Przy R = 100 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 1000 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 10 zwojach, polu powierzchni 10 cm² i oporze 2 Ω tworzy obwód zamknięty. Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,2 T do 0,5 T w czasie 500 ms. Znajdź średni prąd indukowany I.

N = 10A = 10 cm²B: 0,2 T → 0,5 TΔt = 500 msR = 2 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 100 zwojach, 8 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 1800 obr/min w jednorodnym polu 0,3 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 100A = 8 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 1800 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 100 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mH

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 5 mH i C = 2,2 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,834 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,16² = 1,054 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,24² = 780382 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,054 × 10⁶ + 780382| = 1,834 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,834 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 34,47 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·3·2 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F₂ = k·4·2 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N

Suma wektorowa

F = √(33,71² + 7,192²) = 34,47 N

Odpowiedź

F = 34,47 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 21,56 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 4 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 2·7/(2+7) = 1,556 Ω

R_eq = R₁ + 1,556 = 20 + 1,556 = 21,56 Ω

Odpowiedź

R_eq = 21,56 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2776 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 1,6 Ω

R₃ + 1,6 = 16,6 Ω

R₂ ∥ 16,6 = 6,241 Ω

R_eq = R₁ + 6,241 = 5 + 6,241 = 11,24 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/11,24 = 0,4448 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,4448·5 = 2,776 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,776/10 = 0,2776 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2776 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 4,605 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/33 = 0,1515 A

Wyznacz czas

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −1·ln(0,01) = 4,605 ms

Odpowiedź

t = 4,605 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 10,91 µF

Wymagana stała czasowa

9 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 9))

τ = 1000/0,9163 = 1091 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 1091/100 = 10,91 µF

Odpowiedź

C = 10,91 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 3 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,5 − 0,2)·0,001 = 0,0003 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0003/0,5 = 0,006 V

Prąd

I = ε/R = 0,006/2 = 0,003 A

Odpowiedź

I = 3 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 45,24 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,008 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 100·0,3·0,008·188,5 = 45,24 V

Odpowiedź

E₀ = 45,24 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 43,68 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 100/60 = 1,667 A

I_X = V/X_L = 100/62,83 = 1,592 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,667² + 1,592²) = 2,305 A

Kąt fazowy

Prąd cewki opóźnia się względem V, więc prąd całkowity też się opóźnia, a kąt jest dodatni.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,592/1,667) = 43,68°

Odpowiedź

φ = 43,68°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 9,535

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,005·2,2·10⁻⁶)) = 1517 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,005/(2,2·10⁻⁶)) = 9,535

Odpowiedź

Q = 9,535

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism