Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +3 µC po lewej, +5 µC po prawej w odległości 10 cm i −1 µC między nimi, 2,5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = +5 µCq_M = −1 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 10 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 3 µC leży 4 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 3 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 5 ms, w mJ.

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 120 ms.

V_s = 20 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 33 µFt = 120 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Proton porusza się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym 0,25 T. Znajdź czas T jednego obiegu.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,25 T

T = ns

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Proton: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 5000 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,2 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,2 T

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mH

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 35,16 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·3·1 × 10⁻¹²/0,025² = −43,15 N

F_R = +k·5·1 × 10⁻¹²/0,075² = 7,991 N

Siła wypadkowa

F = −43,15 + (7,991) = −35,16 N → |F| = 35,16 N

Odpowiedź

F = 35,16 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 109,7 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·10·5 × 10⁻¹²/0,08² = 70,23 N

F₂ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,04² = 84,28 N

Suma wektorowa

F = √(70,23² + 84,28²) = 109,7 N

Odpowiedź

F = 109,7 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 7,8 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 8 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω

R_eq = R₁ + 1,8 = 6 + 1,8 = 7,8 Ω

Odpowiedź

R_eq = 7,8 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,3175 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 5,053 Ω

R₃ + 5,053 = 7,053 Ω

R₂ ∥ 7,053 = 3,748 Ω

R_eq = R₁ + 3,748 = 12 + 3,748 = 15,75 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/15,75 = 0,3175 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,3175 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 0,9341 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0,1818 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,1818·(1 − e^−5/2,061) = 0,1658 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·68·0,1658² = 0,9341 mJ

Odpowiedź

W = 0,9341 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 0,6906 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 20·2,2/(10 + 2,2) = 3,607 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 2,2·33 = 72,6 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 3,607·e^−120/72,6 = 0,6906 V

Odpowiedź

v_C = 0,6906 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: T = 262,5 ns

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Okres ruchu po okręgu

Szybsza cząstka porusza się po większym okręgu, więc czas obiegu pozostaje ten sam.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 262,5 ns

Odpowiedź

T = 262,5 ns

Prędkość nie jest potrzebna: dlatego cyklotron może używać jednej stałej częstotliwości.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 5,11 cm

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,0511 m = 5,11 cm

Odpowiedź

r = 5,11 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,2583 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·200·0,2 = 251,3 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 24/100 = 0,24 A

I_X = V/X_L = 24/251,3 = 0,09549 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,09549²) = 0,2583 A

Odpowiedź

I = 0,2583 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 27,34 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (246,4)²) = 247,7 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/247,7 = 0,4037 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,4037·67,73 = 27,34 V

Odpowiedź

V_C = 27,34 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism