Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +4 µC i ładunek +5 µC znajdują się w odległości 30 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 18 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +4 µCq₂ = +5 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 8 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 50 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 50 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz stałą czasową τ obwodu po zamknięciu łącznika.

V_s = 10 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µF

τ = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 47 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 3 cm przewodzą prądy 25 A i 25 A w tym samym kierunku. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 25 AI₂ = 25 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 100 zwojach, 12 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 1200 obr/min w jednorodnym polu 0,25 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 100A = 12 cm × 10 cmB = 0,25 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 40 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,012 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,18² = 1,11 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,12² = 3,122 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |1,11 × 10⁶ − 3,122 × 10⁶| = 2,012 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,012 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 215,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 10° = 0,01384 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 10° = 0,1736 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1736·√(0,01384/8,99 × 10⁹) = 2,154 × 10⁻⁷ C = 215,4 nC

Odpowiedź

q = 215,4 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,4255 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 4 + 12 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 10·16/(10+16) = 6,154 Ω

R_eq = R₁ + 6,154 = 15 + 6,154 = 21,15 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/21,15 = 0,4255 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,4255 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 2,08 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 2 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 4,167 Ω

R₃ + 4,167 = 34,17 Ω

R₂ ∥ 34,17 = 10,42 Ω

R_eq = R₁ + 10,42 = 4 + 10,42 = 14,42 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14,42 = 2,08 A

Odpowiedź

I_R1 = 2,08 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: τ = 110,5 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·4,7/(4,7 + 4,7) = 2,35 kΩ

v_C(∞) = 10·4,7/(4,7 + 4,7) = 5 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 2,35·47 = 110,5 ms

Odpowiedź

τ = 110,5 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1573 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 12/47 = 0,2553 A

i(∞) = 12/(47 + 33) = 0,15 A

τ = L/R = 150/80 = 1,875 ms

i(t) = 0,15 + (0,2553 − 0,15)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(5) = 0,15 + (0,1053)·e^−5/1,875 = 0,1573 A

Odpowiedź

i = 0,1573 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 4167 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·25·25/0,03 = 4167 µN/m

Odpowiedź

F/L = 4167 µN/m

Prądy w tym samym kierunku przyciągają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 26,66 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,012 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 100·0,25·0,012·125,7 = 37,7 V

Wartość skuteczna

E_rms = 37,7/√2 = 26,66 V

Odpowiedź

E_rms = 26,66 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −86,62 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−507,8)²) = 508,7 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−507,8/30) = −86,62°

Odpowiedź

φ = −86,62°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 28,94 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 5,467 − j13,74 Ω

Impedancja całkowita

Z = 20 + 5,467 − j13,74 = 25,47 − j13,74 Ω

|Z| = √(25,47² + 13,74²) = 28,94 Ω

Odpowiedź

|Z| = 28,94 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism