Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +1 µC po lewej, +6 µC po prawej w odległości 10 cm i +5 µC między nimi, 2,5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +1 µCq_R = +6 µCq_M = +5 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 3 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 8 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 8 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 8 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 1 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Ile czasu potrzeba, aby prąd spadł do 0,5 A? Wyznacz t.

i(0) = 1 AR = 22 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 12 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,2 V, dokładnie 500 ms po starcie. Przy C = 22 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 12 VV_th = 7,2 VT = 500 msC = 22 µF

R = kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Proton wpada z prędkością 2 × 10⁶ m/s prostopadle w jednorodne pole magnetyczne i porusza się po okręgu o promieniu 5,222 cm. Znajdź indukcję magnetyczną B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 5,222 cm

B = T

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 250 zwojach, 8 cm × 15 cm, obraca się z prędkością 1200 obr/min w jednorodnym polu 0,1 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 250A = 8 cm × 15 cmB = 0,1 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 15 Ω, L = 1 mH i C = 0,1 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 15 ΩL = 1 mHC = 0,1 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 23,97 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = +k·1·5 × 10⁻¹²/0,025² = 71,92 N

F_R = −k·6·5 × 10⁻¹²/0,075² = −47,95 N

Siła wypadkowa

F = 71,92 + (−47,95) = 23,97 N → |F| = 23,97 N

Odpowiedź

F = 23,97 N

Siła wypadkowa jest skierowana w prawo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 242,1 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,08² = 33,71 N

F₂ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

Suma wektorowa

F = √(33,71² + 239,7²) = 242,1 N

Odpowiedź

F = 242,1 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,4641 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 3·21/(3+21) = 2,625 Ω

R_eq = R₁ + 2,625 = 20 + 2,625 = 22,63 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/22,63 = 0,5304 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,5304·20 = 1,392 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,392/3 = 0,4641 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,4641 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 10,67 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 14,04 Ω

R₃ + 14,04 = 20,04 Ω

R₂ ∥ 20,04 = 6,671 Ω

R_eq = R₁ + 6,671 = 4 + 6,671 = 10,67 Ω

Odpowiedź

R_eq = 10,67 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,3151 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

Wyznacz czas

0,5 = 1·e^−t/τ → t = τ·ln(1/0,5)

t = 0,4545·ln(2) = 0,3151 ms

Odpowiedź

t = 0,3151 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 24,8 kΩ

Wymagana stała czasowa

7,2 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 7,2))

τ = 500/0,9163 = 545,7 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 545,7/22 = 24,8 kΩ

Odpowiedź

R = 24,8 kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 0,4 T

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Pole z promienia

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,05222) = 0,4 T

Odpowiedź

B = 0,4 T

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 26,66 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,012 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 250·0,1·0,012·125,7 = 37,7 V

Wartość skuteczna

E_rms = 37,7/√2 = 26,66 V

Odpowiedź

E_rms = 26,66 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 62,12 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (37,81)²) = 42,77 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(37,81/20) = 62,12°

Odpowiedź

φ = 62,12°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 2387 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,1·10⁻⁶)) = 15915 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,001/(0,1·10⁻⁶)) = 6,667

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 15915/6,667 = 2387 Hz

Odpowiedź

B = 2387 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism