Prawo Coulomba i pola elektryczne
- Prawo Coulomba
- F = k·|q1q2|/r²
- Pole ładunku punktowego
- E = k·|q|/r²
- Stała
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Siła działająca na ładunek
- F = q·E
Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Rezystory szeregowo i równolegle
- Rezystory połączone szeregowo
- Req = R1 + R2 + …
- Rezystory połączone równolegle
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dwa równolegle
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Prawo Ohma
- V = I·R
- Moc
- P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
- Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
- Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
- Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Stany nieustalone RC i RL
- Stała czasowa
- τ = RC | τ = L/R
- Odpowiedź układu
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator przy prądzie stałym
- rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
- Cewka przy prądzie stałym
- zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
- Stan ustalony
- t ≈ 5τ
Metoda
- Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
- Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
- Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
- Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Pola magnetyczne i indukcja
- Długi prosty przewód
- B = μ0I/(2πr)
- Środek płaskiej cewki
- B = μ0NI/(2R)
- Długi solenoid
- B = μ0nI, n = N/L
- Stała
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Siła na przewód
- F = BIL·sin θ
- Siła działająca na ładunek
- F = |q|vB·sin θ
- Ruch po okręgu
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Równoległe przewody
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Strumień
- Φ = BA·cos θ
- Prawo Faradaya
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Poruszający się pręt
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Indukcyjność
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Indukcyjność wzajemna
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selektor prędkości i spektrometr
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metoda
- Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
- Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
- Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
- Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.
Impedancja i wskazy AC
- Impedancje
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsacja
- ω = 2πf
- Moduł i kąt
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Prawo Ohma dla wskazów
- V = I·Z
Metoda
- Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
- Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
- Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
- Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
2Zadania do ćwiczenia
1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
Ładunki +4 µC i +5 µC są oddalone o 20 cm. W jakiej odległości x od ładunku +4 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?
q1 = +4 µCq2 = +5 µCd = 20 cm
x = cm
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 10 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 6 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 10 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.
q1 = 6 µCq2 = 10 µCq3 = 10 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.
V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.
V1 = 24 VR1 = 25 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 15 ms.
Vs = 9 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 15 ms
i = A
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 18 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 10,8 V? Wyznacz t.
Vs = 6 VR = 6,8 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
Cewka o 20 zwojach ma pole powierzchni 100 cm². Cewka znajduje się w jednorodnym polu 0,4 T prostopadłym do jej płaszczyzny, a pole wyłączono w czasie 10 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.
N = 20A = 100 cm²B = 0,4 TΔt = 10 ms
ε = V
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
Długi solenoid powietrzny ma 200 zwojów, długość 10 cm i średnicę 1,5 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 2,5 A.
N = 200l = 10 cm⌀ = 1,5 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC z L = 50 mH ma być w rezonansie przy 2000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.
f0 = 2000 HzL = 50 mH
C = µF
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 20 mH i C = 2,2 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.
R = 5 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
Q =
3Roztwory
1.Prawo Coulomba i pola elektryczne
Odpowiedź: x = 9,443 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Równe pola
4/x² = 5/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(5/4) = 1,118
Położenie
x = 20/(1 + 1,118) = 9,443 cm
Odpowiedź
x = 9,443 cm
Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne
Odpowiedź: F = 606 N
Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.
Każda siła działająca na q₃
F1 = k·6·10 × 10⁻¹²/0,03² = 599,3 N
F2 = k·10·10 × 10⁻¹²/0,1² = 89,9 N
Suma wektorowa
F = √(599,3² + 89,9²) = 606 N
Odpowiedź
F = 606 N
3.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 0,5718 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 8 + 3 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω
Req = R1 + 5,739 = 10 + 5,739 = 15,74 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 9/15,74 = 0,5718 A
Odpowiedź
IR1 = 0,5718 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: Req = 27,07 Ω
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 8 + 6 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3,684 Ω
R3 + 3,684 = 6,684 Ω
R2 ∥ 6,684 = 2,071 Ω
Req = R1 + 2,071 = 25 + 2,071 = 27,07 Ω
Odpowiedź
Req = 27,07 Ω
5.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: i = 0,5368 A
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms
i(∞) = Vs/R = 9/15 = 0,6 A
Prąd w danej chwili
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,6·(1 − e−15/6,667) = 0,5368 A
Odpowiedź
i = 0,5368 A
6.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: t = 292,8 ms
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ
Wyznacz czas
10,8 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (10,8 − 6)/(18 − 6) = 0,4
t = τ·ln((18 − 6)/(10,8 − 6)) = 319,6·ln(2,5) = 292,8 ms
Odpowiedź
t = 292,8 ms
7.Pola magnetyczne i indukcja
Odpowiedź: ε = 8 V
Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).
Zmiana strumienia na zwój
ΔΦ = 0,4·0,01 = 0,004 Wb
Średnia SEM
ε = NΔΦ/Δt = 20·0,004/0,01 = 8 V
Odpowiedź
ε = 8 V
8.Pola magnetyczne i indukcja
Odpowiedź: W = 277,6 µJ
Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).
Samoindukcja
L = μ₀N²A/l = 88,83 µH
Zgromadzona energia
W = ½LI² = ½·8,883 × 10⁻⁵·2,5² = 0,0002776 J = 277,6 µJ
Odpowiedź
W = 277,6 µJ
9.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: C = 0,1267 µF
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Warunek rezonansu
W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,05) = 0,1267 µF
Odpowiedź
C = 0,1267 µF
10.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: Q = 19,07
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Częstotliwość rezonansowa
f0 = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz
Dobroć
Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(2,2·10⁻⁶)) = 19,07
Odpowiedź
Q = 19,07
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism