Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek −1 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 8 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = −1 µCr₁ = 8 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 10 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 50 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 50 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 18 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 21,6 V? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cząstka alfa porusza się z prędkością 4 × 10⁶ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 0,4 T. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 0,4 T

r = cm

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 100 zwojach, 12 cm × 5 cm, obraca się w jednorodnym polu 0,2 T wokół osi prostopadłej do pola. Z jaką prędkością n (w obrotach na minutę) musi się obracać, aby dać skuteczną SEM 31,99 V?

N = 100A = 12 cm × 5 cmB = 0,2 TE_rms = 31,99 V

n = rpm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 9,052 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,08² = 8,428 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,12² = 624306 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |8,428 × 10⁶ + 624306| = 9,052 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 9,052 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 240,9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 10° = 0,0173 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 10° = 0,1736 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1736·√(0,0173/8,99 × 10⁹) = 2,409 × 10⁻⁷ C = 240,9 nC

Odpowiedź

q = 240,9 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,356 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 4·32/(4+32) = 3,556 Ω

R_eq = R₁ + 3,556 = 3 + 3,556 = 6,556 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6,556 = 1,525 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,525·3 = 5,424 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,424/4 = 1,356 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,356 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,3059 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,833 Ω

R₃ + 5,833 = 20,83 Ω

R₂ ∥ 20,83 = 7,614 Ω

R_eq = R₁ + 7,614 = 12 + 7,614 = 19,61 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/19,61 = 0,3059 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,3059 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,9242 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Wyznacz czas

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −0,6667·ln(0,25) = 0,9242 ms

Odpowiedź

t = 0,9242 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 2016 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 24 + (18 − 24)·e^−t/τ

Wyznacz czas

21,6 = 24 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (21,6 − 24)/(18 − 24) = 0,4

t = τ·ln((18 − 24)/(21,6 − 24)) = 2200·ln(2,5) = 2016 ms

Odpowiedź

t = 2016 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 20,74 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 6,645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,2074 m = 20,74 cm

Odpowiedź

r = 20,74 cm

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: n = 3600 rpm

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Szczytowa SEM

E₀ = √2·E_rms = 45,24 V

Prędkość kątowa

ω = E₀/(NBA) = 45,24/(100·0,2·0,006) = 377 rad/s

Obroty na minutę

n = 60·377/(2π) = 3600 rpm

Odpowiedź

n = 3600 rpm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −81,26 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−97,56)²) = 98,71 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−97,56/15) = −81,26°

Odpowiedź

φ = −81,26°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 410,9 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·1·10⁻⁶)) = 410,9 Hz

Odpowiedź

f₀ = 410,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism