Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +5 µC po lewej, +1 µC po prawej w odległości 40 cm i −3 µC między nimi, 20 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = +1 µCq_M = −3 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 1 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 4 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 18 V? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Elektron porusza się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym 20 mT. Znajdź czas T jednego obiegu.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 20 mT

T = ns

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 2000 zwojów, długość 40 cm i średnicę 3 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 2000l = 40 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 2,697 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·5·3 × 10⁻¹²/0,2² = −3,371 N

F_R = +k·1·3 × 10⁻¹²/0,2² = 0,6742 N

Siła wypadkowa

F = −3,371 + (0,6742) = −2,697 N → |F| = 2,697 N

Odpowiedź

F = 2,697 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 111,5 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·1·5 × 10⁻¹²/0,04² = 28,09 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N

Suma wektorowa

F = √(28,09² + 107,9²) = 111,5 N

Odpowiedź

F = 111,5 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 10,54 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω

R_eq = R₁ + 5,538 = 5 + 5,538 = 10,54 Ω

Odpowiedź

R_eq = 10,54 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,7529 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 4,759 Ω

R₃ + 4,759 = 34,76 Ω

R₂ ∥ 34,76 = 3,587 Ω

R_eq = R₁ + 3,587 = 25 + 3,587 = 28,59 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/28,59 = 0,8395 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0,8395·25 = 3,012 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,012/4 = 0,7529 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,7529 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 4,794 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−1/1,36 = 4,794 V

Odpowiedź

v_L = 4,794 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 818,7 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 24 + (4 − 24)·e^−t/τ

Wyznacz czas

18 = 24 + (−20)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18 − 24)/(4 − 24) = 0,3

t = τ·ln((4 − 24)/(18 − 24)) = 680·ln(3,333) = 818,7 ms

Odpowiedź

t = 818,7 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: T = 1,786 ns

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Okres ruchu po okręgu

Szybsza cząstka porusza się po większym okręgu, więc czas obiegu pozostaje ten sam.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,02) = 1,786 ns

Odpowiedź

T = 1,786 ns

Prędkość nie jest potrzebna: dlatego cyklotron może używać jednej stałej częstotliwości.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 8,883 mH

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0007069/0,4 = 0,008883 H = 8,883 mH

Odpowiedź

L = 8,883 mH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 82,56 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (612,4)²) = 617,6 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(612,4/80) = 82,56°

Odpowiedź

φ = 82,56°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 0,539 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (124,1)²) = 147,6 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 50/147,6 = 0,3387 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,3387·1,592 = 0,539 V

Odpowiedź

V_C = 0,539 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism