Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki +8 µC i +4 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 50 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCr = 50 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 1 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 80 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 8° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 80 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 10 ms, w mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 20 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 14 V? Wyznacz t.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 68 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 20 zwojach ma pole powierzchni 25 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,05 T do 0,35 T w czasie 10 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 20A = 25 cm²B: 0,05 T → 0,35 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 2000 zwojów, długość 15 cm i średnicę 2,5 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 2000l = 15 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

P = W

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 50 ΩC = 22 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 1,295 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (8 + 4)/2 = 6 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0,5² = 1,295 N

Odpowiedź

F = 1,295 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 87,2 nC

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 8° = 0,001379 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 8° = 0,2227 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2227·√(0,001379/8,99 × 10⁹) = 8,72 × 10⁻⁸ C = 87,2 nC

Odpowiedź

q = 87,2 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 3,081 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω

R_eq = R₁ + 1,789 = 6 + 1,789 = 7,789 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,789 = 3,081 A

Odpowiedź

I_R1 = 3,081 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,797 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 5,357 Ω

R₃ + 5,357 = 35,36 Ω

R₂ ∥ 35,36 = 8,959 Ω

R_eq = R₁ + 8,959 = 6 + 8,959 = 14,96 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/14,96 = 2,407 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,407·6 = 21,56 V

I_R2 = V_A/R₂ = 21,56/12 = 1,797 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,797 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 3,54 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,2·(1 − e^−10/4,4) = 0,1794 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·220·0,1794² = 3,54 mJ

Odpowiedź

W = 3,54 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 292,8 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 68 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

Wyznacz czas

14 = 10 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14 − 10)/(20 − 10) = 0,4

t = τ·ln((20 − 10)/(14 − 10)) = 319,6·ln(2,5) = 292,8 ms

Odpowiedź

t = 292,8 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 1,5 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,35 − 0,05)·0,0025 = 0,00075 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,00075/0,01 = 1,5 V

Odpowiedź

ε = 1,5 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 16,45 mH

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0004909/0,15 = 0,01645 H = 16,45 mH

Odpowiedź

L = 16,45 mH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 43,37 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 188,5 Ω, X_C = 36,17 Ω

Impedancja

|Z| = √(100² + (152,3)²) = 182,2 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 120/182,2 = 0,6586 A

P = I²·R = 0,6586²·100 = 43,37 W

Odpowiedź

P = 43,37 W

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 5,016 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 3,863 − j13,35 Ω

Impedancja całkowita

Z = 40 + 3,863 − j13,35 = 43,86 − j13,35 Ω

|Z| = √(43,86² + 13,35²) = 45,85 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 230/45,85 = 5,016 A

Odpowiedź

I = 5,016 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism