Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++3 µC−−10 µCP40 cm

Ładunek +3 µC i ładunek −10 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 20 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +3 µCq2 = −10 µCr1 = 20 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
++P2 × 3 cm10 cm+8 µC+8 µC

Ładunki +8 µC i +8 µC są oddalone o 6 cm. Punkt P leży 10 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +8 µCq2 = +8 µCd = 6 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​20 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​12 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 ΩR5 = 10 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​12 Vt = 0R = 15 ΩL220 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 15 ms, w mJ.

Vs = 12 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 15 ms
W = mJ
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 kΩC?+−vC​

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 15 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 12 V, dokładnie 25 ms po starcie. Przy R = 47 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

Vs = 15 VVth = 12 VT = 25 msR = 47 kΩ
C = µF
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
R = 1 Ωv = 5 m/sL = 60 cmB = 0,8 T

Metalowy pręt o długości 60 cm przesuwa się z prędkością 5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,8 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 1 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,8 TL = 60 cmv = 5 m/sR = 1 Ω
I = A
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
l = 15 cmN = 1500, ⌀ 2 cm

Długi solenoid powietrzny ma 1500 zwojów, długość 15 cm i średnicę 2 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 1500l = 15 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 4,7 µF

Szeregowy obwód RLC z C = 4,7 µF ma być w rezonansie przy 5000 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f0 = 5000 HzC = 4,7 µF
L = mH
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 2 ΩL = 1 mHC = 2,2 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 2 Ω, L = 1 mH i C = 2,2 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 2 ΩL = 1 mHC = 2,2 µF
Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,922 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,2² = 674250 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |674250 + 2,247 × 10⁶| = 2,922 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,922 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,264 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(3² + 10²) = 10,44 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,1044² = 6,598 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E1·(h/r) = 2·6,598 × 10⁶·0,9578 = 1,264 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 1,264 × 10⁷ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 10,8 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​20 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 4 + 20 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 6·24/(6+24) = 4,8 Ω
Req = R1 + 4,8 = 6 + 4,8 = 10,8 Ω

Odpowiedź

Req = 10,8 Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,6399 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 10 + 12 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 4,714 Ω
R3 + 4,714 = 8,714 Ω
R2 ∥ 8,714 = 3,553 Ω
Req = R1 + 3,553 = 2 + 3,553 = 5,553 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 6/5,553 = 1,08 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 1,08·2 = 3,839 V
IR2 = VA/R2 = 3,839/6 = 0,6399 A

Odpowiedź

IR2 = 0,6399 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 28,87 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms
i(∞) = Vs/R = 12/15 = 0,8 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,8·(1 − e−15/14,67) = 0,5123 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·220·0,5123² = 28,87 mJ

Odpowiedź

W = 28,87 mJ
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,3305 µF

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wymagana stała czasowa

12 = 15·(1 − e−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 12))
τ = 25/1,609 = 15,53 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 15,53/47 = 0,3305 µF

Odpowiedź

C = 0,3305 µF
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 2,4 A

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,8·0,6·5 = 2,4 V

Prąd

I = ε/R = 2,4/1 = 2,4 A

Odpowiedź

I = 2,4 A
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 5,922 mH

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0,0003142/0,15 = 0,005922 H = 5,922 mH

Odpowiedź

L = 5,922 mH
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 0,2156 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·4,7·10⁻⁶) = 0,2156 mH

Odpowiedź

L = 0,2156 mH
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 10,66

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,001·2,2·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,001/(2,2·10⁻⁶)) = 10,66

Odpowiedź

Q = 10,66

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism