Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++8 µC−−2 µCP10 cm

Ładunek +8 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 2,5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +8 µCq2 = −2 µCr1 = 2,5 cmr2 = 7,5 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
L = 30 cm10°qq

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 1 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 30 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 30 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩIR2​AR4​10 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩIR2​AR4​5 ΩBR6​5 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 1 kΩC10 µF+−vC​

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz stałą czasową τ obwodu po zamknięciu łącznika.

Vs = 12 VR1 = 3,3 kΩR2 = 1 kΩC = 10 µF
τ = ms
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​20 Vt = 0R = 3,3 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 18 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 18,8 V? Wyznacz t.

Vs = 20 VR = 3,3 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
IBF = ?

Przewód z prądem płynącym w dół strony znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Kliknij kierunek siły magnetycznej działającej na przewód.

I: w dół stronyB: w głąb kartki
  1. 1w górę strony
  2. 2w prawo
  3. 3w dół strony
  4. 4w lewo
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
V = 10000 VB = 0,8 Tr = ?

Deuteron: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 10000 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,8 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,8 T
r = cm
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Vf0​ = 500 HzRL = 2 mHC = ?

Szeregowy obwód RLC z L = 2 mH ma być w rezonansie przy 500 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f0 = 500 HzL = 2 mH
C = µF
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
100 V100 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 20 ΩC = 22 µF

Rezystor R1 jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R2 i kondensatora C i podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,183 × 10⁸ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,025² = 1,151 × 10⁸ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,151 × 10⁸ + 3,196 × 10⁶| = 1,183 × 10⁸ N/C

Odpowiedź

E = 1,183 × 10⁸ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 45,7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 10° = 0,00173 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 10° = 0,1042 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1042·√(0,00173/8,99 × 10⁹) = 4,57 × 10⁻⁸ C = 45,7 nC

Odpowiedź

q = 45,7 nC
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,4366 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 6·13/(6+13) = 4,105 Ω
Req = R1 + 4,105 = 10 + 4,105 = 14,11 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 9/14,11 = 0,6381 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,6381·10 = 2,619 V
IR2 = VA/R2 = 2,619/6 = 0,4366 A

Odpowiedź

IR2 = 0,4366 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 1,1 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 3,75 Ω
R3 + 3,75 = 13,75 Ω
R2 ∥ 13,75 = 3,667 Ω
Req = R1 + 3,667 = 3 + 3,667 = 6,667 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 10/6,667 = 1,5 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,5·3 = 5,5 V
IR2 = VA/R2 = 5,5/5 = 1,1 A

Odpowiedź

IR2 = 1,1 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: τ = 7,674 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć Rth; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·1/(3,3 + 1) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 12·1/(3,3 + 1) = 2,791 V

Stała czasowa

τ = Rth·C = 0,7674·10 = 7,674 ms

Odpowiedź

τ = 7,674 ms
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 79,23 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms
vC(t) = 20 + (18 − 20)·e−t/τ

Wyznacz czas

18,8 = 20 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (18,8 − 20)/(18 − 20) = 0,6
t = τ·ln((18 − 20)/(18,8 − 20)) = 155,1·ln(1,667) = 79,23 ms

Odpowiedź

t = 79,23 ms
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: w prawo

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Reguła prawej dłoni

Skieruj palce wzdłuż prądu lub prędkości i zegnij je w stronę B; kciuk wskazuje siłę działającą na ładunek dodatni.

I: w dół strony, B: w głąb kartki

Kierunek siły

w prawo

Odpowiedź

F: w prawo
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 2,554 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 978843 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,02554 m = 2,554 cm

Odpowiedź

r = 2,554 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 50,66 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,002) = 50,66 µF

Odpowiedź

C = 50,66 µF
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 48,85 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Zp na część rzeczywistą i urojoną.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 18,58 − j5,137 Ω

Impedancja całkowita

Z = 30 + 18,58 − j5,137 = 48,58 − j5,137 Ω
|Z| = √(48,58² + 5,137²) = 48,85 Ω

Odpowiedź

|Z| = 48,85 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism