Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek +2 µC znajdują się w odległości 30 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = +2 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 3 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 3 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 15 ms.

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 15 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 12,6 V? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 50 zwojach ma pole powierzchni 50 cm². Cewkę obrócono na drugą stronę (o 180°) w jednorodnym polu 0,8 T, prostopadłym do jej płaszczyzny, w czasie 20 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 50A = 50 cm²B = 0,8 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 150 zwojach, 12 cm × 5 cm, obraca się z prędkością 3600 obr/min w jednorodnym polu 0,25 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 150A = 12 cm × 5 cmB = 0,25 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mH

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 60 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,598 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,15² = 2,397 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |2,397 × 10⁶ − 799111| = 1,598 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,598 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 60,2 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·2·2 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

F₂ = k·3·2 × 10⁻¹²/0,03² = 59,93 N

Suma wektorowa

F = √(5,619² + 59,93²) = 60,2 N

Odpowiedź

F = 60,2 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 12 + 2,4 = 14,4 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,4 = 0,625 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,625·12 = 1,5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,5/3 = 0,5 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5969 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 8 + 4 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 3,529 Ω

R₃ + 3,529 = 28,53 Ω

R₂ ∥ 28,53 = 4,254 Ω

R_eq = R₁ + 4,254 = 10 + 4,254 = 14,25 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14,25 = 0,7015 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,7015·10 = 2,985 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,985/5 = 0,5969 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5969 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 2,108 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1,333 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−15/6,667 = 2,108 V

Odpowiedź

v_L = 2,108 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 163,3 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 9 + (15 − 9)·e^−t/τ

Wyznacz czas

12,6 = 9 + (6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,6 − 9)/(15 − 9) = 0,6

t = τ·ln((15 − 9)/(12,6 − 9)) = 319,6·ln(1,667) = 163,3 ms

Odpowiedź

t = 163,3 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 20 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 2·0,8·0,005 = 0,008 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,008/0,02 = 20 V

Odpowiedź

ε = 20 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 59,98 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,006 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 150·0,25·0,006·377 = 84,82 V

Wartość skuteczna

E_rms = 84,82/√2 = 59,98 V

Odpowiedź

E_rms = 59,98 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,2583 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·100·0,2 = 125,7 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 12/50 = 0,24 A

I_X = V/X_L = 12/125,7 = 0,09549 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,09549²) = 0,2583 A

Odpowiedź

I = 0,2583 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 3,245 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·200·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 53,31 − j18,89 Ω

Impedancja całkowita

Z = 15 + 53,31 − j18,89 = 68,31 − j18,89 Ω

|Z| = √(68,31² + 18,89²) = 70,87 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 230/70,87 = 3,245 A

Odpowiedź

I = 3,245 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism