Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +5 µC po lewej, −6 µC po prawej w odległości 10 cm i +8 µC między nimi, 5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = −6 µCq_M = +8 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +2 µC i +2 µC są oddalone o 20 cm. Punkt P leży 12 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCd = 20 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 18 V? Wyznacz t.

V_s = 20 VR = 3,3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 60 cm przesuwa się z prędkością 10 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 1 T skierowanym w głąb kartki. Znajdź indukowaną SEM ε między jego końcami.

B = 1 TL = 60 cmv = 10 m/s

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 200 zwojów, długość 25 cm i średnicę 1 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 3 A.

N = 200l = 25 cm⌀ = 1 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 2 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 316,4 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = +k·5·8 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N

F_R = +k·6·8 × 10⁻¹²/0,05² = 172,6 N

Siła wypadkowa

F = 143,8 + (172,6) = 316,4 N → |F| = 316,4 N

Odpowiedź

F = 316,4 N

Siła wypadkowa jest skierowana w prawo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,132 × 10⁶ N/C

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(10² + 12²) = 15,62 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1562² = 736885 N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·736885·0,7682 = 1,132 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,132 × 10⁶ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 11,3 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 4·19/(4+19) = 3,304 Ω

R_eq = R₁ + 3,304 = 8 + 3,304 = 11,3 Ω

Odpowiedź

R_eq = 11,3 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,108 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6,667 Ω

R₃ + 6,667 = 14,67 Ω

R₂ ∥ 14,67 = 9,244 Ω

R_eq = R₁ + 9,244 = 25 + 9,244 = 34,24 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/34,24 = 0,292 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,292·25 = 2,699 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,699/25 = 0,108 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,108 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 1,181 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−1/0,4681 = 1,181 V

Odpowiedź

v_L = 1,181 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 99,78 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms

v_C(t) = 20 + (15 − 20)·e^−t/τ

Wyznacz czas

18 = 20 + (−5)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18 − 20)/(15 − 20) = 0,4

t = τ·ln((15 − 20)/(18 − 20)) = 108,9·ln(2,5) = 99,78 ms

Odpowiedź

t = 99,78 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 6 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 1·0,6·10 = 6 V

Odpowiedź

ε = 6 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 71,06 µJ

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 15,79 µH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·1,579 × 10⁻⁵·3² = 7,106 × 10⁻⁵ J = 71,06 µJ

Odpowiedź

W = 71,06 µJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 1,133 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 62,83 Ω, X_C = 318,3 Ω

Impedancja

|Z| = √(30² + (−255,5)²) = 257,2 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 50/257,2 = 0,1944 A

P = I²·R = 0,1944²·30 = 1,133 W

Odpowiedź

P = 1,133 W

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 38,14 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·2,2·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0,4 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 4767·0,02 = 95,35 Ω

V_L = I·X_L = 0,4·95,35 = 38,14 V

Odpowiedź

V_L = 38,14 V

To Q = 19,07 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism