Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek −8 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 25 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 2 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 40 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 20° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 40 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 5 ms.

V_s = 9 VR₁ = 22 ΩR₂ = 10 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Elektron porusza się z prędkością 5 × 10⁶ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 5 mT. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 5 mT

r = cm

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 500 zwojów, długość 25 cm i średnicę 4 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 5 A.

N = 500l = 25 cm⌀ = 4 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,301 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,25² = 1,151 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,25² = 1,151 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,151 × 10⁶ + 1,151 × 10⁶| = 2,301 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,301 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 243,9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 20° = 0,007141 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 20° = 0,2736 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2736·√(0,007141/8,99 × 10⁹) = 2,439 × 10⁻⁷ C = 243,9 nC

Odpowiedź

q = 243,9 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,7366 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω

R_eq = R₁ + 5,739 = 4 + 5,739 = 9,739 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9,739 = 1,54 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,54·4 = 8,839 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,839/12 = 0,7366 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,7366 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,474 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 3,59 Ω

R₃ + 3,59 = 8,59 Ω

R₂ ∥ 8,59 = 4,142 Ω

R_eq = R₁ + 4,142 = 4 + 4,142 = 8,142 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,142 = 1,474 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,474 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 1,236 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/0,44 = 1,236 V

Odpowiedź

v_L = 1,236 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3477 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 9/(22 + 10) = 0,2813 A

i(∞) = 9/22 = 0,4091 A

τ = L/R = 150/22 = 6,818 ms

i(t) = 0,4091 + (0,2813 − 0,4091)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(5) = 0,4091 + (−0,1278)·e^−5/6,818 = 0,3477 A

Odpowiedź

i = 0,3477 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 0,5686 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,005) = 0,005686 m = 0,5686 cm

Odpowiedź

r = 0,5686 cm

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 19,74 mJ

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 1,579 mH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,001579·5² = 0,01974 J = 19,74 mJ

Odpowiedź

W = 19,74 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 14,59 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·200·0,05 = 62,83 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 24/15 = 1,6 A

I_X = V/X_L = 24/62,83 = 0,382 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,6² + 0,382²) = 1,645 A

Impedancja

|Z| = V/I = 24/1,645 = 14,59 Ω

Odpowiedź

|Z| = 14,59 Ω

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,9084 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (122,3)²) = 132,1 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/132,1 = 0,9084 A

Odpowiedź

I = 0,9084 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism