Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++3 µC−−3 µCP20 cm

Ładunek +3 µC i ładunek −3 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +3 µCq2 = −3 µCr1 = 15 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
+−P2 × 8 cm12 cm+5 µC−5 µC

Ładunki +5 µC i −5 µC są oddalone o 16 cm. Punkt P leży 12 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = −5 µCd = 16 cmh = 12 cm
E = N/C
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩIR2​AR4​15 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​10 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 5 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 25 ΩR4 = 2 ΩR5 = 5 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 3,3 kΩC100 µF+−vC​

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 150 ms.

Vs = 12 VR1 = 4,7 kΩR2 = 3,3 kΩC = 100 µFt = 150 ms
vC = V
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​12 Vt = 0R = ?C1 µF+−vC​

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 12 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 10,8 V, dokładnie 50 ms po starcie. Przy C = 1 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

Vs = 12 VVth = 10,8 VT = 50 msC = 1 µF
R = kΩ
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
−vBF = ?

Elektron porusza się w lewo w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Kliknij kierunek działającej na niego siły magnetycznej.

v: w lewoB: w głąb kartki
  1. 1w górę strony
  2. 2w prawo
  3. 3w dół strony
  4. 4w lewo
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
E = 4 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,25 TB2​ = 0,4 Tr = ?

Cząstka alfa przechodzi bez odchylenia przez selektor prędkości ze skrzyżowanymi polami E = 4 × 10⁴ V/m i B₁ = 0,25 T. Potem wchodzi do drugiego obszaru z samym polem magnetycznym B₂ = 0,4 T, pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru tam.

E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0,25 TB2 = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
120 V500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 100 ΩL = 200 mHC = 0,047 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 100 Ω, L = 200 mH i C = 0,047 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 100 ΩL = 200 mHC = 0,047 µF
B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,199 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,05² = 1,079 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,199 × 10⁶ + 1,079 × 10⁷| = 1,199 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 1,199 × 10⁷ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,397 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(8² + 12²) = 14,42 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,1442² = 2,161 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż symetralnej się znoszą.

E = 2·E1·(a/r) = 2·2,161 × 10⁶·0,5547 = 2,397 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,397 × 10⁶ N/C

Pole jest równoległe do prostej łączącej ładunki, skierowane od ładunku dodatniego do ujemnego.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,9324 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 8 + 15 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5,935 Ω
Req = R1 + 5,935 = 6 + 5,935 = 11,94 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 15/11,94 = 1,257 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,257·6 = 7,459 V
IR2 = VA/R2 = 7,459/8 = 0,9324 A

Odpowiedź

IR2 = 0,9324 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,2759 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 2 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​10 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 5 + 10 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 1,765 Ω
R3 + 1,765 = 26,76 Ω
R2 ∥ 26,76 = 9,613 Ω
Req = R1 + 9,613 = 2 + 9,613 = 11,61 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 5/11,61 = 0,4306 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,4306·2 = 4,139 V
IR2 = VA/R2 = 4,139/15 = 0,2759 A

Odpowiedź

IR2 = 0,2759 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 2,667 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć Rth; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·3,3/(4,7 + 3,3) = 1,939 kΩ
vC(∞) = 12·3,3/(4,7 + 3,3) = 4,95 V

Stała czasowa

τ = Rth·C = 1,939·100 = 193,9 ms

Krzywa ładowania

vC(t) = 4,95·(1 − e−150/193,9) = 2,667 V

Odpowiedź

vC = 2,667 V
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 21,71 kΩ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wymagana stała czasowa

10,8 = 12·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 10,8))
τ = 50/2,303 = 21,71 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 21,71/1 = 21,71 kΩ

Odpowiedź

R = 21,71 kΩ
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: w górę strony

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Reguła prawej dłoni

Skieruj palce wzdłuż prądu lub prędkości i zegnij je w stronę B; kciuk wskazuje siłę działającą na ładunek dodatni.

v: w lewo, B: w głąb kartki

Ładunek ujemny

Siła działająca na elektron jest przeciwna do siły działającej na ładunek dodatni.

Kierunek siły

w górę strony

Odpowiedź

F: w górę strony
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 0,8296 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B1 = 4 × 10⁴/0,25 = 160000 m/s

Promień w drugim polu

r = mv/(|q|B2) = 0,008296 m = 0,8296 cm

Odpowiedź

r = 0,8296 cm
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 78,71 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (125,2)²) = 127,7 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(125,2/25) = 78,71°

Odpowiedź

φ = 78,71°
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 79,58 Hz

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,2·0,047·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,2/(0,047·10⁻⁶)) = 20,63

Pasmo przenoszenia

B = f0/Q = 1642/20,63 = 79,58 Hz

Odpowiedź

B = 79,58 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism