Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki −2 µC i +4 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 10 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −2 µCq₂ = +4 µCr = 10 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 2 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 60 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 15° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 60 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 10 ms.

V_s = 9 VR = 10 ΩL = 68 mHt = 10 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 15 ms.

V_s = 20 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩL = 68 mHt = 15 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 2 cm przewodzą prądy 15 A i 20 A w przeciwnych kierunkach. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 15 AI₂ = 20 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 200 zwojów, długość 50 cm i średnicę 5 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 1 A.

N = 200l = 50 cm⌀ = 5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (−2 + 4)/2 = 1 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,1² = 0,899 N

Odpowiedź

F = 0,899 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 237,5 nC

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 15° = 0,005257 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 15° = 0,3106 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3106·√(0,005257/8,99 × 10⁹) = 2,375 × 10⁻⁷ C = 237,5 nC

Odpowiedź

q = 237,5 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 17,22 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 12 + 5,217 = 17,22 Ω

Odpowiedź

R_eq = 17,22 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2669 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 2 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 8,108 Ω

R₃ + 8,108 = 13,11 Ω

R₂ ∥ 13,11 = 2,441 Ω

R_eq = R₁ + 2,441 = 25 + 2,441 = 27,44 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/27,44 = 0,328 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,328·25 = 0,8007 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,8007/3 = 0,2669 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2669 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 2,068 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms

i(∞) = V_s/R = 9/10 = 0,9 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−10/6,8 = 2,068 V

Odpowiedź

v_L = 2,068 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 2,22 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 20/5 = 4 A

i(∞) = 20/(5 + 5) = 2 A

τ = L/R = 68/10 = 6,8 ms

i(t) = 2 + (4 − 2)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(15) = 2 + (2)·e^−15/6,8 = 2,22 A

Odpowiedź

i = 2,22 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 3000 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·20/0,02 = 3000 µN/m

Odpowiedź

F/L = 3000 µN/m

Prądy w przeciwnych kierunkach odpychają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 98,7 µJ

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 197,4 µH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,0001974·1² = 9,87 × 10⁻⁵ J = 98,7 µJ

Odpowiedź

W = 98,7 µJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,197 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−189,9)²) = 192,2 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/192,2 = 1,197 A

Odpowiedź

I = 1,197 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,427 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (280,3)²) = 281 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/281 = 0,427 A

Odpowiedź

I = 0,427 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism