Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki +2 µC i +3 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 15 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +3 µCr = 15 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 2 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 10 ms.

V_s = 20 VR₁ = 33 ΩR₂ = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 4 cm przewodzą prądy 5 A i 20 A w tym samym kierunku. Znajdź wartość indukcji magnetycznej B w punkcie P, w połowie odległości między nimi.

I₁ = 5 AI₂ = 20 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 400 zwojów, długość 15 cm i średnicę 3 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 3 A.

N = 400l = 15 cm⌀ = 3 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 2,497 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (2 + 3)/2 = 2,5 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 2,497 N

Odpowiedź

F = 2,497 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 154,1 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,03² = 149,8 N

F₂ = k·2·5 × 10⁻¹²/0,05² = 35,96 N

Suma wektorowa

F = √(149,8² + 35,96²) = 154,1 N

Odpowiedź

F = 154,1 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,3856 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5,935 Ω

R_eq = R₁ + 5,935 = 20 + 5,935 = 25,94 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/25,94 = 0,3856 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,3856 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,222 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 2 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 6 Ω

R₃ + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 2,182 Ω

R_eq = R₁ + 2,182 = 6 + 2,182 = 8,182 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8,182 = 1,222 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,222 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,2938 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0,3636 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3636·(1 − e^−5/3,03) = 0,2938 A

Odpowiedź

i = 0,2938 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,555 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 20/(33 + 20) = 0,3774 A

i(∞) = 20/33 = 0,6061 A

τ = L/R = 220/33 = 6,667 ms

i(t) = 0,6061 + (0,3774 − 0,6061)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(10) = 0,6061 + (−0,2287)·e^−10/6,667 = 0,555 A

Odpowiedź

i = 0,555 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 150 µT

Pole magnetyczne prądów: wokół długiego prostego przewodu linie pola są okręgami (reguła prawej dłoni), a B = μ₀I/(2πr). W środku płaskiej kołowej cewki o N zwojach B = μ₀NI/(2R). Wewnątrz długiego solenoidu pole jest jednorodne, B = μ₀nI, gdzie n = N/L to liczba zwojów na metr, niezależnie od promienia. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Pracuj w jednostkach SI (metry i ampery), a pola kilku źródeł dodawaj jako wektory.

Pole każdego przewodu w punkcie P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·5/0,02 = 50 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·20/0,02 = 200 µT

Połącz

B = |B₁ − B₂| = 150 µT

Odpowiedź

B = 150 µT

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 4,264 mJ

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 947,5 µH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,0009475·3² = 0,004264 J = 4,264 mJ

Odpowiedź

W = 4,264 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,3114 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (48,36)²) = 77,06 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 24/77,06 = 0,3114 A

Odpowiedź

I = 0,3114 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 3,424 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (109,7)²) = 111,6 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 24/111,6 = 0,2151 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,2151·15,92 = 3,424 V

Odpowiedź

V_C = 3,424 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism