Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +5 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 36 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +5 µCq₂ = −2 µCr₁ = 36 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 10 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 5 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 5 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 0,116 A? Wyznacz t.

V_s = 6 VR₁ = 47 ΩR₂ = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 100 zwojach ma pole powierzchni 100 cm². Cewkę obrócono na drugą stronę (o 180°) w jednorodnym polu 0,1 T, prostopadłym do jej płaszczyzny, w czasie 100 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 100A = 100 cm²B = 0,1 TΔt = 100 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 100 zwojach, 15 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 600 obr/min w jednorodnym polu 0,5 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 100A = 15 cm × 10 cmB = 0,5 Tn = 600 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 10 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 658989 N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,36² = 346836 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,24² = 312153 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |346836 + 312153| = 658989 N/C

Odpowiedź

E = 658989 N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 354 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,04² = 337,1 N

F₂ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N

Suma wektorowa

F = √(337,1² + 107,9²) = 354 N

Odpowiedź

F = 354 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 11,91 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 12 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3,913 Ω

R_eq = R₁ + 3,913 = 8 + 3,913 = 11,91 Ω

Odpowiedź

R_eq = 11,91 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 12,11 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 8 + 3 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 8,049 Ω

R₃ + 8,049 = 13,05 Ω

R₂ ∥ 13,05 = 4,11 Ω

R_eq = R₁ + 4,11 = 8 + 4,11 = 12,11 Ω

Odpowiedź

R_eq = 12,11 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,2938 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms

i(∞) = V_s/R = 20/68 = 0,2941 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2941·(1 − e^−1/0,1471) = 0,2938 A

Odpowiedź

i = 0,2938 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,3707 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 6/47 = 0,1277 A

i(∞) = 6/(47 + 20) = 0,08955 A

τ = L/R = 68/67 = 1,015 ms

i(t) = 0,08955 + (0,1277 − 0,08955)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (0,116 − 0,08955)/(0,1277 − 0,08955) = 0,694

t = 1,015·ln(1,441) = 0,3707 ms

Odpowiedź

t = 0,3707 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 2 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 2·0,1·0,01 = 0,002 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,002/0,1 = 2 V

Odpowiedź

ε = 2 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 33,32 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,015 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 100·0,5·0,015·62,83 = 47,12 V

Wartość skuteczna

E_rms = 47,12/√2 = 33,32 V

Odpowiedź

E_rms = 33,32 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,5635

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 12,57 Ω, X_C = 159,2 Ω

Impedancja

|Z| = √(100² + (−146,6)²) = 177,4 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 100/177,4 = 0,5635

Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.

Odpowiedź

cos φ = 0,5635

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 75,38 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·150,8 = 75,38 V

Odpowiedź

V_L = 75,38 V

To Q = 7,538 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism