Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +4 µC i ładunek −4 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 10 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 10 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 10 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 1 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz napięcie v_R na R w chwili t = 1 ms.

i(0) = 1 AR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 30 ms.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 8 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Elektron porusza się z prędkością 5 × 10⁶ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 1 mT. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 1 mT

r = cm

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 100 zwojów, długość 30 cm i średnicę 3 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 3 A.

N = 100l = 30 cm⌀ = 3 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 47 µF

P = W

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 10 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,598 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,05² = 1,438 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,598 × 10⁶ + 1,438 × 10⁷| = 1,598 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 1,598 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 687,6 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,04² = 337,1 N

F₂ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,03² = 599,3 N

Suma wektorowa

F = √(337,1² + 599,3²) = 687,6 N

Odpowiedź

F = 687,6 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,4167 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 8 + 4 = 12 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12 = 0,8333 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,8333·8 = 3,333 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,333/8 = 0,4167 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,4167 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 15,83 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 15 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 14,21 Ω

R₃ + 14,21 = 16,21 Ω

R₂ ∥ 16,21 = 9,834 Ω

R_eq = R₁ + 9,834 = 6 + 9,834 = 15,83 Ω

Odpowiedź

R_eq = 15,83 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_R = 16 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0,6912 ms

Zanik prądu

i(t) = 1·e^−1/0,6912 = 0,2353 A

v_R = R·i = 68·0,2353 = 16 V

Odpowiedź

v_R = 16 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 8,259 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (8 − 9)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(30) = 9 + (−1)·e^−30/100 = 8,259 V

Odpowiedź

v_C = 8,259 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 2,843 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001) = 0,02843 m = 2,843 cm

Odpowiedź

r = 2,843 cm

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 133,2 µJ

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 29,61 µH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·2,961 × 10⁻⁵·3² = 0,0001332 J = 133,2 µJ

Odpowiedź

W = 133,2 µJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 40,14 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 7,54 Ω, X_C = 56,44 Ω

Impedancja

|Z| = √(10² + (−48,9)²) = 49,91 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 100/49,91 = 2,004 A

P = I²·R = 2,004²·10 = 40,14 W

Odpowiedź

P = 40,14 W

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 13,25 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−239,8)²) = 240,2 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 10/240,2 = 0,04163 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,04163·318,3 = 13,25 V

Odpowiedź

V_C = 13,25 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism