Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +1 µC i ładunek −5 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 45 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +1 µCq₂ = −5 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +1 µC i −1 µC są oddalone o 20 cm. Punkt P leży 4 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 20 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 1 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz napięcie v_R na R w chwili t = 10 ms.

i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 100 mHt = 10 ms

v_R = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd i₂ przez R₂ w chwili t = 80 ms.

V_s = 12 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 80 ms

i₂ = mA

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 200 zwojach ma pole powierzchni 20 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0 T do 0,5 T w czasie 50 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 200A = 20 cm²B: 0 T → 0,5 TΔt = 50 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 500 zwojach, 12 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 600 obr/min w jednorodnym polu 0,3 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 500A = 12 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 600 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,042 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,45² = 44395 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |44395 + 1,998 × 10⁶| = 2,042 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,042 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,439 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(10² + 4²) = 10,77 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1077² = 775000 N/C

Składowe

Składowe wzdłuż symetralnej się znoszą.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·775000·0,9285 = 1,439 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,439 × 10⁶ N/C

Pole jest równoległe do prostej łączącej ładunki, skierowane od ładunku dodatniego do ujemnego.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,854 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 3·19/(3+19) = 2,591 Ω

R_eq = R₁ + 2,591 = 3 + 2,591 = 5,591 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/5,591 = 2,146 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 2,146·3 = 5,561 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,561/3 = 1,854 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,854 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 3,127 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 25 + 15 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 2,791 Ω

R₃ + 2,791 = 17,79 Ω

R₂ ∥ 17,79 = 3,266 Ω

R_eq = R₁ + 3,266 = 3 + 3,266 = 6,266 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/6,266 = 3,83 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 3,83·3 = 12,51 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12,51/4 = 3,127 A

Odpowiedź

I_R2 = 3,127 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_R = 3,347 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

Zanik prądu

i(t) = 1·e^−10/6,667 = 0,2231 A

v_R = R·i = 15·0,2231 = 3,347 V

Odpowiedź

v_R = 3,347 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i₂ = 1,463 mA

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 12·1/(4,7 + 1) = 2,105 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 1·220 = 220 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 2,105·e^−80/220 = 1,463 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,463/1 = 1,463 mA

Odpowiedź

i₂ = 1,463 mA

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 4 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,5 − 0)·0,002 = 0,001 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,001/0,05 = 4 V

Odpowiedź

ε = 4 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 113,1 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,012 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 500·0,3·0,012·62,83 = 113,1 V

Odpowiedź

E₀ = 113,1 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −83,5 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−526,7)²) = 530,1 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−526,7/60) = −83,5°

Odpowiedź

φ = −83,5°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 71,18 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·100·10⁻⁶)) = 71,18 Hz

Odpowiedź

f₀ = 71,18 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism