Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++4 µC++3 µCP20 cm

Ładunek +4 µC i ładunek +3 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 8 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +4 µCq2 = +3 µCr1 = 8 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
5 cm5 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +10 µC

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 5 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 10 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q1 = 2 µCq2 = 10 µCq3 = 2 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​6 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBR6​10 Ω

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​6 Vt = 0R = 4,7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 30 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 15,6 V? Wyznacz t.

Vs = 6 VR = 4,7 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
dB/dt > 0I = ?

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym ku czytelnikowi. Natężenie pola rośnie. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: ku czytelnikowidB/dt > 0
  1. 1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
  2. 2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
L = 40 mH1 → 5 A

Prąd w cewce o indukcyjności 40 mH zmienia się równomiernie od 1 A do 5 A w czasie 1 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 40 mH1 A → 5 AΔt = 1 ms
ε = V
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Vf0​ = 5000 HzRL = 100 mHC = ?

Szeregowy obwód RLC z L = 100 mH ma być w rezonansie przy 5000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f0 = 5000 HzL = 100 mH
C = µF
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
12 V500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f0 obwodu.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,746 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,08² = 5,619 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,12² = 1,873 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |5,619 × 10⁶ − 1,873 × 10⁶| = 3,746 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 3,746 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 73,34 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F1 = k·2·2 × 10⁻¹²/0,05² = 14,38 N
F2 = k·10·2 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N

Suma wektorowa

F = √(14,38² + 71,92²) = 73,34 N

Odpowiedź

F = 73,34 N
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 14,86 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​6 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω
Req = R1 + 6,857 = 8 + 6,857 = 14,86 Ω

Odpowiedź

Req = 14,86 Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 0,4461 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBR6​10 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 6 + 10 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 7,742 Ω
R3 + 7,742 = 32,74 Ω
R2 ∥ 32,74 = 12,42 Ω
Req = R1 + 12,42 = 10 + 12,42 = 22,42 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 10/22,42 = 0,4461 A

Odpowiedź

IR1 = 0,4461 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1622 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0,2 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,2·(1 − e−5/3) = 0,1622 A

Odpowiedź

i = 0,1622 A
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 94,74 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms
vC(t) = 6 + (30 − 6)·e−t/τ

Wyznacz czas

15,6 = 6 + (24)·e−t/τ → e−t/τ = (15,6 − 6)/(30 − 6) = 0,4
t = τ·ln((30 − 6)/(15,6 − 6)) = 103,4·ln(2,5) = 94,74 ms

Odpowiedź

t = 94,74 ms
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień ku czytelnikowi rośnie albo strumień w głąb kartki maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: w głąb kartki.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Odpowiedź

zgodnie z ruchem wskazówek zegara
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 160 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·4/0,001 = 160 V

Odpowiedź

ε = 160 V
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 0,01013 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,1) = 0,01013 µF

Odpowiedź

C = 0,01013 µF
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f0 = 519,1 Hz

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Odpowiedź

f0 = 519,1 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism