Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +10 µC po lewej, −1 µC po prawej w odległości 40 cm i −2 µC między nimi, 20 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +10 µCq_R = −1 µCq_M = −2 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 4 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 1 µC leży 10 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 2 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz napięcie v_R na R w chwili t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 0,519 A? Wyznacz t.

V_s = 15 VR₁ = 22 ΩR₂ = 20 ΩL = 33 mH

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 100 zwojach ma pole powierzchni 10 cm². Cewka znajduje się w jednorodnym polu 0,8 T prostopadłym do jej płaszczyzny, a pole wyłączono w czasie 250 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 100A = 10 cm²B = 0,8 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 20 mH zmienia się równomiernie od 2 A do 0,5 A w czasie 5 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 20 mH2 A → 0,5 AΔt = 5 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 100 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 200 mH

|Z| = Ω

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 4,944 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·10·2 × 10⁻¹²/0,2² = −4,495 N

F_R = −k·1·2 × 10⁻¹²/0,2² = −0,4495 N

Siła wypadkowa

F = −4,495 + (−0,4495) = −4,944 N → |F| = 4,944 N

Odpowiedź

F = 4,944 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 79,99 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,1² = 3,596 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Suma wektorowa

F = √(3,596² + 79,91²) = 79,99 N

Odpowiedź

F = 79,99 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,518 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7,765 Ω

R_eq = R₁ + 7,765 = 12 + 7,765 = 19,76 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/19,76 = 1,518 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,518 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,7482 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 30 + 20 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 5,357 Ω

R₃ + 5,357 = 30,36 Ω

R₂ ∥ 30,36 = 10,04 Ω

R_eq = R₁ + 10,04 = 6 + 10,04 = 16,04 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16,04 = 0,7482 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,7482 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_R = 8,367 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

Zanik prądu

i(t) = 2,5·e^−1/0,6667 = 0,5578 A

v_R = R·i = 15·0,5578 = 8,367 V

Odpowiedź

v_R = 8,367 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,5469 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 15/22 = 0,6818 A

i(∞) = 15/(22 + 20) = 0,3571 A

τ = L/R = 33/42 = 0,7857 ms

i(t) = 0,3571 + (0,6818 − 0,3571)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (0,519 − 0,3571)/(0,6818 − 0,3571) = 0,4985

t = 0,7857·ln(2,006) = 0,5469 ms

Odpowiedź

t = 0,5469 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 320 mV

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 0,8·0,001 = 0,0008 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0008/0,25 = 0,32 V

Odpowiedź

ε = 320 mV

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 6 V

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,02·1,5/0,005 = 6 V

Odpowiedź

ε = 6 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 19,06 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·50·0,2 = 62,83 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 100/20 = 5 A

I_X = V/X_L = 100/62,83 = 1,592 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 1,592²) = 5,247 A

Impedancja

|Z| = V/I = 100/5,247 = 19,06 Ω

Odpowiedź

|Z| = 19,06 Ω

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 73,41 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·47·10⁻⁶)) = 73,41 Hz

Odpowiedź

f₀ = 73,41 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism