Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +8 µC i +6 µC są oddalone o 60 cm. W jakiej odległości x od ładunku +8 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCd = 60 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 1 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 5 µC leży 5 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 8 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 1,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz prąd i w chwili t = 2 ms.

i(0) = 1,5 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 15 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 11,25 V, dokładnie 25 ms po starcie. Przy C = 2,2 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 15 VV_th = 11,25 VT = 25 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 8 cm przewodzą prądy 15 A i 5 A w tym samym kierunku. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 15 AI₂ = 5 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Deuteron: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 2500 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,2 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,2 T

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mH

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 50 Ω, L = 100 mH i C = 0,01 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,01 µF

Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 32,15 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

8/x² = 6/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(6/8) = 0,866

Położenie

x = 60/(1 + 0,866) = 32,15 cm

Odpowiedź

x = 32,15 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 33,92 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·5·1 × 10⁻¹²/0,05² = 17,98 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0,05² = 28,77 N

Suma wektorowa

F = √(17,98² + 28,77²) = 33,92 N

Odpowiedź

F = 33,92 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 27 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_eq = R₁ + 12 = 15 + 12 = 27 Ω

Odpowiedź

R_eq = 27 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,3773 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 10,5 Ω

R₃ + 10,5 = 20,5 Ω

R₂ ∥ 20,5 = 6,721 Ω

R_eq = R₁ + 6,721 = 20 + 6,721 = 26,72 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/26,72 = 0,5613 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,5613·20 = 3,773 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,773/10 = 0,3773 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,3773 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,4463 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

Zanik prądu

i(t) = 1,5·e^−2/1,65 = 0,4463 A

Odpowiedź

i = 0,4463 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 8,197 kΩ

Wymagana stała czasowa

11,25 = 15·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 11,25))

τ = 25/1,386 = 18,03 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 18,03/2,2 = 8,197 kΩ

Odpowiedź

R = 8,197 kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 187,5 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·5/0,08 = 187,5 µN/m

Odpowiedź

F/L = 187,5 µN/m

Prądy w tym samym kierunku przyciągają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 5,108 cm

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,05108 m = 5,108 cm

Odpowiedź

r = 5,108 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 2,556 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·100·0,1 = 62,83 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 100/50 = 2 A

I_X = V/X_L = 100/62,83 = 1,592 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 1,592²) = 2,556 A

Odpowiedź

I = 2,556 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 63,25

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,01·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,1/(0,01·10⁻⁶)) = 63,25

Odpowiedź

Q = 63,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism