Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek +5 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = +5 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 2 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 4 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 1900 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 1900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 15 ms.

V_s = 20 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 33 µFt = 15 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 3 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 30 ms.

V_s = 15 VR = 4,7 kΩC = 10 µFv_C(0) = 3 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Proton porusza się z prędkością 6 × 10⁵ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 0,5 T. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sB = 0,5 T

r = cm

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

W selektorze prędkości skrzyżowane pola E = 4 × 10⁴ V/m i B = 0,1 T przepuszczają prosto tylko jony o jednej prędkości. Znajdź tę prędkość v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,1 T

v = m/s

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 1 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,596 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,05² = 1,798 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |2,158 × 10⁷ − 1,798 × 10⁷| = 3,596 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 3,596 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,6683 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,04/2 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1900/9,109 × 10⁻³¹ = 3,342 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·3,342 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0006683 m = 0,6683 mm

Odpowiedź

y = 0,6683 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 8,75 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

R_eq = R₁ + 3,75 = 5 + 3,75 = 8,75 Ω

Odpowiedź

R_eq = 8,75 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,4144 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 9,375 Ω

R₃ + 9,375 = 19,38 Ω

R₂ ∥ 19,38 = 4,581 Ω

R_eq = R₁ + 4,581 = 12 + 4,581 = 16,58 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16,58 = 0,5428 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,5428·12 = 2,487 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,487/6 = 0,4144 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,4144 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 1,042 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·1/(6,8 + 1) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 20·1/(6,8 + 1) = 2,564 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 0,8718·33 = 28,77 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 2,564·(1 − e^−15/28,77) = 1,042 V

Odpowiedź

v_C = 1,042 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 8,662 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms

v_C(t) = 15 + (3 − 15)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(30) = 15 + (−12)·e^−30/47 = 8,662 V

Odpowiedź

v_C = 8,662 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 1,253 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 1,673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,01253 m = 1,253 cm

Odpowiedź

r = 1,253 cm

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: v = 400000 m/s

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,1 = 400000 m/s

Odpowiedź

v = 400000 m/s

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −53,26 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−33,49)²) = 41,79 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−33,49/25) = −53,26°

Odpowiedź

φ = −53,26°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 46,43 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·47·10⁻⁶)) = 46,43 Hz

Odpowiedź

f₀ = 46,43 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism