Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++5 µC++1 µCP20 cm

Ładunek +5 µC i ładunek +1 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +5 µCq2 = +1 µCr1 = 15 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
L = 20 cm10°qq

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 5 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 20 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 20 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 30 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​5 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 ΩR5 = 3 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​20 Vt = 0R = 20 ΩL10 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 95% wartości końcowej? Wyznacz t.

Vs = 20 VR = 20 ΩL = 10 mH
t = ms
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​15 Vt = 0R = 3,3 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 30 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 24 V? Wyznacz t.

Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 33 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
−v = 1 × 10⁶ m/sr = ?B = 4 mT

Elektron porusza się z prędkością 1 × 10⁶ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 4 mT. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 4 mT
r = cm
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
L = 50 mH2 → 3 A

Prąd w cewce o indukcyjności 50 mH zmienia się równomiernie od 2 A do 3 A w czasie 5 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 50 mH2 A → 3 AΔt = 5 ms
ε = V
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
Vf0​ = 200 HzRL = 200 mHC = ?

Szeregowy obwód RLC z L = 200 mH ma być w rezonansie przy 200 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f0 = 200 HzL = 200 mH
C = µF
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
120 V60 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 150 ΩC = 4,7 µFI

Rezystor R1 jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R2 i kondensatora C i podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR1 = 20 ΩR2 = 150 ΩC = 4,7 µF
I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,598 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |1,998 × 10⁶ − 3,596 × 10⁶| = 1,598 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,598 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 68,13 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 10° = 0,008649 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 10° = 0,06946 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06946·√(0,008649/8,99 × 10⁹) = 6,813 × 10⁻⁸ C = 68,13 nC

Odpowiedź

q = 68,13 nC
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 2,868 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 6·7/(6+7) = 3,231 Ω
Req = R1 + 3,231 = 2 + 3,231 = 5,231 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 15/5,231 = 2,868 A

Odpowiedź

IR1 = 2,868 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,2232 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 30 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​5 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 3 + 5 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4,444 Ω
R3 + 4,444 = 9,444 Ω
R2 ∥ 9,444 = 6,855 Ω
Req = R1 + 6,855 = 30 + 6,855 = 36,85 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 30/36,85 = 0,814 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 0,814·30 = 5,58 V
IR2 = VA/R2 = 5,58/25 = 0,2232 A

Odpowiedź

IR2 = 0,2232 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,498 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A

Wyznacz czas

0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −0,5·ln(0,05) = 1,498 ms

Odpowiedź

t = 1,498 ms
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 55,63 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms
vC(t) = 15 + (30 − 15)·e−t/τ

Wyznacz czas

24 = 15 + (15)·e−t/τ → e−t/τ = (24 − 15)/(30 − 15) = 0,6
t = τ·ln((30 − 15)/(24 − 15)) = 108,9·ln(1,667) = 55,63 ms

Odpowiedź

t = 55,63 ms
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 0,1422 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 9,109 × 10⁻³¹·1 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,004) = 0,001422 m = 0,1422 cm

Odpowiedź

r = 0,1422 cm
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 10 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,05·1/0,005 = 10 V

Odpowiedź

ε = 10 V
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 3,166 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,2) = 3,166 µF

Odpowiedź

C = 3,166 µF
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,73 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

XC = 1/(2π·60·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Zp na część rzeczywistą i urojoną.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 140,1 − j37,24 Ω

Impedancja całkowita

Z = 20 + 140,1 − j37,24 = 160,1 − j37,24 Ω
|Z| = √(160,1² + 37,24²) = 164,4 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 120/164,4 = 0,73 A

Odpowiedź

I = 0,73 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism