Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +1 µC i ładunek +10 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 10 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 6 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz napięcie v_R na R w chwili t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 50 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 5 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 8,2 V? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 3,3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 20 cm przesuwa się z prędkością 2 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,5 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 2,5 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź siłę F potrzebną do utrzymania stałej prędkości pręta (bez tarcia).

B = 0,5 TL = 20 cmv = 2 m/sR = 2,5 Ω

F = mN

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 300 zwojów, długość 15 cm i średnicę 2 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 5 A.

N = 300l = 15 cm⌀ = 2 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 50 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 47 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 10 Ω, L = 20 mH i C = 0,47 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 10 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,148 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,3² = 99889 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |99889 − 2,247 × 10⁶| = 2,148 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,148 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 600 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

F₂ = k·6·10 × 10⁻¹²/0,03² = 599,3 N

Suma wektorowa

F = √(28,09² + 599,3²) = 600 N

Odpowiedź

F = 600 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,024 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 4·24/(4+24) = 3,429 Ω

R_eq = R₁ + 3,429 = 20 + 3,429 = 23,43 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/23,43 = 1,024 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,024 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 33,25 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 14,22 Ω

R₃ + 14,22 = 39,22 Ω

R₂ ∥ 39,22 = 13,25 Ω

R_eq = R₁ + 13,25 = 20 + 13,25 = 33,25 Ω

Odpowiedź

R_eq = 33,25 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_R = 21,98 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0,66 ms

Zanik prądu

i(t) = 2·e^−1/0,66 = 0,4395 A

v_R = R·i = 50·0,4395 = 21,98 V

Odpowiedź

v_R = 21,98 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 175,3 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms

v_C(t) = 9 + (5 − 9)·e^−t/τ

Wyznacz czas

8,2 = 9 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,2 − 9)/(5 − 9) = 0,2

t = τ·ln((5 − 9)/(8,2 − 9)) = 108,9·ln(5) = 175,3 ms

Odpowiedź

t = 175,3 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F = 8 mN

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,5·0,2·2 = 0,2 V

Prąd

I = ε/R = 0,2/2,5 = 0,08 A

Siła hamująca

Reguła Lenza: siła działająca na prąd indukowany przeciwdziała ruchowi.

F = BIL = 0,5·0,08·0,2 = 0,008 N

Odpowiedź

F = 8 mN

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 2,961 mJ

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 236,9 µH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,0002369·5² = 0,002961 J = 2,961 mJ

Odpowiedź

W = 2,961 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,9673 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 50/80 = 0,625 A

I_X = V/X_C = 50/67,73 = 0,7383 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,625² + 0,7383²) = 0,9673 A

Odpowiedź

I = 0,9673 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 20,63

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,47·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,02/(0,47·10⁻⁶)) = 20,63

Odpowiedź

Q = 20,63

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism