Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek −1 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = −1 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 4 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 10 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 3700 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 68 mH

W(∞) = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 20 ms.

V_s = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩL = 150 mHt = 20 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 30 cm przesuwa się z prędkością 3 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,6 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 1 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,6 TL = 30 cmv = 3 m/sR = 1 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 1000 zwojów, długość 30 cm i średnicę 2,5 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 2 A.

N = 1000l = 30 cm⌀ = 2,5 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,241 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,15² = 3,196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,45² = 44395 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |3,196 × 10⁶ + 44395| = 3,241 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 3,241 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 2,033 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,1/4 × 10⁷ = 2,5 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3700/9,109 × 10⁻³¹ = 6,507 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·6,507 × 10¹⁴·(2,5 × 10⁻⁹)² = 0,002033 m = 2,033 mm

Odpowiedź

y = 2,033 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,45 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 10 + 3,333 = 13,33 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/13,33 = 0,675 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,675·10 = 2,25 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,25/5 = 0,45 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,45 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,9714 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 1,75 Ω

R₃ + 1,75 = 9,75 Ω

R₂ ∥ 9,75 = 2,294 Ω

R_eq = R₁ + 2,294 = 8 + 2,294 = 10,29 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10,29 = 0,9714 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,9714 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 7,025 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·0,4545² = 7,025 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 7,025 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,6042 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 10/5 = 2 A

i(∞) = 10/(5 + 15) = 0,5 A

τ = L/R = 150/20 = 7,5 ms

i(t) = 0,5 + (2 − 0,5)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(20) = 0,5 + (1,5)·e^−20/7,5 = 0,6042 A

Odpowiedź

i = 0,6042 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 540 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,6·0,3·3 = 0,54 V

Prąd

I = ε/R = 0,54/1 = 0,54 A

Odpowiedź

I = 540 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 4,112 mJ

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 2,056 mH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,002056·2² = 0,004112 J = 4,112 mJ

Odpowiedź

W = 4,112 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −50,86 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−61,44)²) = 79,22 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−61,44/50) = −50,86°

Odpowiedź

φ = −50,86°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,06247 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (155)²) = 160,1 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 10/160,1 = 0,06247 A

Odpowiedź

I = 0,06247 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism