Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +3 µC i ładunek +4 µC znajdują się w odległości 30 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 18 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +3 µCq₂ = +4 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 8 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 30 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 8° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 30 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 30 ms.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 15 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Natężenie pola maleje. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: w głąb kartkidB/dt < 0

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 100 zwojach, 10 cm × 25 cm, obraca się z prędkością 1200 obr/min w jednorodnym polu 0,25 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 100A = 10 cm × 25 cmB = 0,25 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 100 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 12 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,665 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,18² = 832407 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,12² = 2,497 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |832407 − 2,497 × 10⁶| = 1,665 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,665 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 92,49 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 8° = 0,01103 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 8° = 0,0835 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,0835·√(0,01103/8,99 × 10⁹) = 9,249 × 10⁻⁸ C = 92,49 nC

Odpowiedź

q = 92,49 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 2,824 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω

R_eq = R₁ + 1,778 = 2 + 1,778 = 3,778 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/3,778 = 3,176 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 3,176·2 = 5,647 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,647/2 = 2,824 A

Odpowiedź

I_R2 = 2,824 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 2,848 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 2,438 Ω

R₃ + 2,438 = 22,44 Ω

R₂ ∥ 22,44 = 1,836 Ω

R_eq = R₁ + 1,836 = 3 + 1,836 = 4,836 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/4,836 = 3,102 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 3,102·3 = 5,695 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,695/2 = 2,848 A

Odpowiedź

I_R2 = 2,848 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 9,098 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 15/22 = 0,6818 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/10 = 9,098 V

Odpowiedź

v_L = 9,098 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 18,05 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(30) = 24 + (−9)·e^−30/72,6 = 18,05 V

Odpowiedź

v_C = 18,05 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień ku czytelnikowi rośnie albo strumień w głąb kartki maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: w głąb kartki.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Odpowiedź

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 78,54 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,025 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 100·0,25·0,025·125,7 = 78,54 V

Odpowiedź

E₀ = 78,54 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 55,42 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 100/60 = 1,667 A

I_X = V/X_C = 100/144,7 = 0,6912 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,667² + 0,6912²) = 1,804 A

Impedancja

|Z| = V/I = 100/1,804 = 55,42 Ω

Odpowiedź

|Z| = 55,42 Ω

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 161,8 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·2,2·10⁻⁶) = 6742 rad/s

I = V/R = 12/5 = 2,4 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 6742·0,01 = 67,42 Ω

V_L = I·X_L = 2,4·67,42 = 161,8 V

Odpowiedź

V_L = 161,8 V

To Q = 13,48 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism