Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +8 µC po lewej, +10 µC po prawej w odległości 20 cm i −4 µC między nimi, 12 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +8 µCq_R = +10 µCq_M = −4 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 8 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 20 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 16 V? Wyznacz t.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 200 zwojach, polu powierzchni 150 cm² i oporze 4 Ω tworzy obwód zamknięty. Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,2 T do 0,8 T w czasie 40 ms. Znajdź średni prąd indukowany I.

N = 200A = 150 cm²B: 0,2 T → 0,8 TΔt = 40 msR = 4 Ω

I = A

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 200 zwojach, 15 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 3000 obr/min w jednorodnym polu 0,3 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 200A = 15 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 3000 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 150 mH

|Z| = Ω

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 36,21 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·8·4 × 10⁻¹²/0,12² = −19,98 N

F_R = +k·10·4 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

Siła wypadkowa

F = −19,98 + (56,19) = 36,21 N → |F| = 36,21 N

Odpowiedź

F = 36,21 N

Siła wypadkowa jest skierowana w prawo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 163,3 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·3·2 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0,03² = 159,8 N

Suma wektorowa

F = √(33,71² + 159,8²) = 163,3 N

Odpowiedź

F = 163,3 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,255 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 5 + 2 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 10·7/(10+7) = 4,118 Ω

R_eq = R₁ + 4,118 = 15 + 4,118 = 19,12 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/19,12 = 1,255 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,255 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 2,527 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 13,21 Ω

R₃ + 13,21 = 28,21 Ω

R₂ ∥ 28,21 = 4,247 Ω

R_eq = R₁ + 4,247 = 10 + 4,247 = 14,25 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/14,25 = 2,527 A

Odpowiedź

I_R1 = 2,527 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 0,1833 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0,1915² = 0,1833 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 0,1833 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 51,08 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

Wyznacz czas

16 = 10 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16 − 10)/(20 − 10) = 0,6

t = τ·ln((20 − 10)/(16 − 10)) = 100·ln(1,667) = 51,08 ms

Odpowiedź

t = 51,08 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 11,25 A

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,8 − 0,2)·0,015 = 0,009 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,009/0,04 = 45 V

Prąd

I = ε/R = 45/4 = 11,25 A

Odpowiedź

I = 11,25 A

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 282,7 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,015 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 200·0,3·0,015·314,2 = 282,7 V

Odpowiedź

E₀ = 282,7 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 88,34 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·200·0,15 = 188,5 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 120/100 = 1,2 A

I_X = V/X_L = 120/188,5 = 0,6366 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,2² + 0,6366²) = 1,358 A

Impedancja

|Z| = V/I = 120/1,358 = 88,34 Ω

Odpowiedź

|Z| = 88,34 Ω

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 14,24 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−208,7)²) = 223,5 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/223,5 = 0,05369 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,05369·265,3 = 14,24 V

Odpowiedź

V_C = 14,24 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism