Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek −3 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 20 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = −3 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 8 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 10 µC leży 5 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 3 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 3 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 18 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 100 ms.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Natężenie pola rośnie. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: w głąb kartkidB/dt > 0

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 200 mH zmienia się równomiernie od 2,5 A do 1 A w czasie 20 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 200 mH2,5 A → 1 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,648 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,2² = 1,348 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |1,348 × 10⁶ + 299667| = 1,648 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,648 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 300,3 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·10·8 × 10⁻¹²/0,05² = 287,7 N

F₂ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N

Suma wektorowa

F = √(287,7² + 86,3²) = 300,3 N

Odpowiedź

F = 300,3 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,74 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 8·21/(8+21) = 5,793 Ω

R_eq = R₁ + 5,793 = 8 + 5,793 = 13,79 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,79 = 1,74 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,74 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 2,021 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 5,238 Ω

R₃ + 5,238 = 11,24 Ω

R₂ ∥ 11,24 = 2,95 Ω

R_eq = R₁ + 2,95 = 8 + 2,95 = 10,95 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/10,95 = 2,74 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,74·8 = 8,082 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,082/4 = 2,021 A

Odpowiedź

I_R2 = 2,021 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 4,142 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/0,94 = 4,142 V

Odpowiedź

v_L = 4,142 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 20,19 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 24 + (18 − 24)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(100) = 24 + (−6)·e^−100/220 = 20,19 V

Odpowiedź

v_C = 20,19 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień w głąb kartki rośnie albo strumień ku czytelnikowi maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: ku czytelnikowi.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Odpowiedź

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 15 V

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·1,5/0,02 = 15 V

Odpowiedź

ε = 15 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,1074 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (108,9)²) = 111,8 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/111,8 = 0,1074 A

Odpowiedź

I = 0,1074 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 0,8891 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (908,6)²) = 914,1 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 24/914,1 = 0,02626 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,02626·33,86 = 0,8891 V

Odpowiedź

V_C = 0,8891 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism